最大子数组问题

求区间[L,R]的最大子区间

朴素做法

预处理前缀和，枚举左右端点维护答案。复杂度$O(n^2)$

优化

采用分治。将区间[L,R]分为[L,Mid]和[Mid+1,R]，则最大子区间有以下三种情况：

1. 完全位于左区间；
2. 完全位于右区间；
3. 横跨左右区间；

因此$ans=max(L_{ans},R_{ans},Mid_{ans})$
$L_{ans},R_{ans}$均在之前求得，因此只需要线性时间求$Mid_{ans}$，即从Mid位置向前后分别扫描，维护各自的MAX，最后加和即可。复杂度$O(nlogn)$

再优化

运用前缀和的思想，选择第i个数时，要再加上前面的区间[l,r]，当且仅当$SUM_{[l,r]} \geq0$。因此可以从头向前扫，一旦SUM为负就清零，否则就加上当前数字并维护答案。复杂度$O(n)$

代码3

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2E5+10;
int n,ans,sum,k=-N;
inline int read()
{
	int ret=0,flag=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9')
	{
		flag=(ch=='-')?-1:1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ret*flag;
}
int main()
{
	n=read();
	for(register int i=1,tmp;i<=n;++i)
	{
		tmp=read();
		k=max(tmp,k);
		sum=(sum+tmp<=0)?0:sum+tmp;
		ans=max(ans,sum);
	}
	cout<<(ans?ans:k)<<endl;
}