平衡二叉树的定义

在学习平衡二叉树之前，需要先了解什么是平衡二叉树，平衡二叉树有哪些特点？平衡二叉树或者是棵空树，或者具有下列性质的二叉查找树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1，平衡因子的值只可能为-1,0,1。平衡二叉树中最需要注意的就是平衡问题，只要有一个结点的平衡因子的绝对值大于1，那么这棵树就失去了平衡，在插入，删除操作中都可能会出现失衡情况，此时则需要重新调整平衡。

平衡二叉树的存储结构类型：

typedef struct BBSTNode {
 int data;
 int bf;  //结点平衡因子
 struct BBSTNode *lchild, *rchild;
}*BBSTree;

插入

设置高度变化标志taller，taller为TREU时表示被插入结点的子树高度增加，此时需要考虑平衡调整，为FALSE表示高度没有变化。依次插入结点，有以下几种情况：

（1）平衡二叉树为空树，则插入结点直接作为根结点，树的高度增加taller=TRUE；（2）待插入结点与平衡二叉树中存在的结点相等，不用插入，taller=FALSE；（3）若待插入结点小于根结点，且平衡二叉树中不存在与根结点相等的值，在左子树中插入，若插入后左子树的高度增加1。（左子树高度不变则不需要调整平衡）根据情况判断是否需要平衡调整： ① 原根结点的平衡因子为-1（左高右低），更改为0，树的高度不变。 ② 原根结点的平衡因子为0（左右相等），更改为1，树的高度增加1。 ③ 原根结点的平衡因子为1（左高右低）：若左子树根结点平衡因子为1，则是LL型失衡，平衡调整修改平衡因子。若左子树根结点平衡因子为-1，则为LR型，平衡调整后修改平衡因子。

假设p是最小失衡树，s是插入的结点

LL型在这里插入图片描述 LR型

（4）若待插入结点大于根结点，且平衡二叉树中不存在与根结点相等的值，在右子树中插入，若插入后右子树高度加一。（右子树高度不变则不需要调整平衡） ① 原根结点的平衡因子为1（左高右低），更改为0，树的高度不变。 ② 原根结点的平衡因子为0（左右相等），更改为-1，树的高度增加1。 ③ 原根结点的平衡因子为-1（左低右高）：若右子树根结点平衡因子为1，RL型失衡，平衡调整后修改平衡因子。若右子树根结点平衡因子为-1，RR型失衡，平衡调整后修改平衡因子。 RR型在这里插入图片描述 RL型、 代码如下：

Status InsertAVL(BBSTree &T, RcdType e, Status &taller) {
 if (NULL == T) {  //二叉树为空，插入新节点作为根结点
  T = (BBSTree)malloc(sizeof(BBSTNode));
  T->data = e;
  T->bf = EH;
  T->lchild = NULL;
  T->rchild = NULL;
  taller = TRUE;
 }
 else if (e.key == T->data.key) {  //树中已存在和e相等的结点
  taller = FALSE;
  return FALSE;    //未插入，返回FALSE
 }
 else if (e.key < T->data.key) { //e小于根结点，插入到左子树中
  if (FALSE == InsertAVL(T->lchild, e, taller)) return FALSE; //递归插入，找到NULL=T的子树插入，若有相等的值返回FALSE
  if (TRUE == taller) {
   switch (T->bf) {   //检查T的平衡因子
   case LH:
    LeftBalance(T);
    taller = FALSE; 
    break;//原左高，做左平衡处理
   case EH:
    T->bf = LH; 
    taller = TRUE; 
    break; //原等高，变成左高
   case RH:
    T->bf = EH;
    taller = FALSE;   //原右高，变成等高
    break;
   }
  }
 }
 else {   //插到右子树中         
  if (FALSE == InsertAVL(T->rchild, e, taller)) return FALSE; //递归插入到右子树，若右子树中有相等的值，返回FALSE
  if (TRUE == taller) { //确认插入
   switch (T->bf) {
   case LH:T->bf = EH; taller = FALSE; break;     //原本左高，插入后变成等高
   case EH:T->bf = RH; taller = TRUE; break;   //原本等高，插入后变成右高
   case RH:RightBalance(T); taller = FALSE; break; //原本右高，插入新节点后失衡，右平衡处理操作，树没有变高
   }
  }
 }
 return TRUE;
}

删除

假设删除的结点为p结点，在进行删除操作之前需要进行查找操作，在平衡二叉树中查找p结点：（1）p结点小于当前根结点，在根结点的左子树中递归查找p结点。（2）p结点等于当前根结点，进行删除操作。（3）p结点大于当前根结点，在根结点的右子树中递归查找p结点。在平衡二叉树中删除一个结点，有以下三种情况： （1）p结点是根结点 当p是根结点，也就是没有左右孩子，此时我们删除结点只需要把p直接删除。在这里插入图片描述

（2）p结点只有一棵子树 p结点只有左孩子（右孩子）s时，把左孩子（右孩子）s的数据复制给p结点，然后把s结点删除。在这里插入图片描述 （3）p结点有两棵子树 p结点既有左孩子又有右孩子时，有两种方法： a.让p结点左孩子中最大的结点s复制给p结点，然后删除s结点，此时，如果s结点有左孩子，则把左孩子移到s结点的双亲结点上。 b.让p结点右孩子中最小的结点s复制给p结点，然后删除s结点，此时，如果s结点有右孩子，则把右孩子移到s结点的双亲结点上。一般情况下，在高度较大的子树中实行删除操作，即若左子树比右子树高，执行a方法，若右子树比左子树高，执行b方法。在这里插入图片描述同样的，平衡二叉树删除一个结点后，也可能会失去平衡。在左子树中删除一个结点相当于在右子树中插入一个结点，这个时候需要利用结点的平衡因子重新调整平衡。 代码如下：

Status Delete(BBSTree &p, int &e, int &flag) {
 BBSTree q, s;
 if (!p->rchild) { //p结点的右子树为空
  q = p;
  if (p->lchild) {  //情况3，p结点的左子树不为空，用左子树最大的结点代替p结点的位置
   p->lchild->bf = p->bf;
   e = p->lchild->data.key;
  }
  p = p->lchild; //把左子树结点的值复制给p结点，若是左子树为空，则是情况1
  free(q);     //删除p结点内存
  flag = 1;
 }
 else if (!p->lchild) { //情况2，p结点左子树为空，右子树不为空的情况
  q = p;
  p->rchild->bf = p->bf;
  e = p->rchild->data.key;
  p = p->rchild;
  free(q);
  flag = 1;
 }
 else {    //情况4，有左右子树的情况
  q = p;
  s = p->lchild;
  while (s->rchild) { //若p的左子树s有右子树
   q = s;          //q则是最大结点的双亲   
   s = s->rchild; //使s成为左子树内最大的结点，只能是叶子结点或者一个没有右孩子的结点
  }
  p->data.key = s->data.key; //把最大结点的数值复制给p结点
  if (q != p) {  //若p的左子树有右子树，找到右子树的最大值和p结点交换  s->rchild ！= NULL 的情况
   q->rchild = s->lchild;
  }
  else {  //若p的左子树没有右子树时  s->lchild==NULL
   q->lchild = s->lchild;  //若p的左子树没有右子树，p==q
   p->bf = RH;
  }
  e = p->data.key;
  free(s);
 }
 return TRUE;
}

查找

平衡二叉树的查找也是利用递归算法实现，因为平衡二叉树是特殊的二叉查找树，当查找值e小于当前根节点时，在左子树中递归查找。当查找值e大于当前根结点时，在右子树中递归查找。 代码如下：

Status SearchAVLNode(BBSTree T, KeyType key) {
 if (!T) return ERROR;
 if (T->data.key == key) {
  printf("查询结果：%d，平衡因子：%d\n", T->data.key, T->bf);
  return OK;
 }
 else {
  if (T->lchild)      //在左子树中查找
   if (SearchAVLNode(T->lchild, key)) //递归
    return OK;
  if (T->rchild)  //在右子树中查找
   if (SearchAVLNode(T->rchild, key)) //递归
    return OK;
  return ERROR;
 }
}

分裂

利用递归算法，需要先输入关键字key，在平衡二叉树中，结点数据比key小的值依次插入到T1，结点数据比key大的值依次插入到T2。也就是说分裂出来的两棵子树，一棵比key大，一棵比key小。

代码如下：

Status Split(BBSTree T, KeyType e, BBSTree &T1, BBSTree &T2) {
 Status taller = 0;
 if (!T) return TRUE;
 Split(T->lchild, e, T1, T2);
 if (T->data.key > e) {
  InsertAVL(T2, T->data, taller);
 }else {
  InsertAVL(T1, T->data, taller);
 }
 Split(T->rchild, e, T1, T2);
 return TRUE;
}

合并

平衡二叉树的合并操作也是利用递归算法实现，假如需要合并T1,T2，在T1中递归插入T2的结点，就能实现合并操作,其核心算法还是插入操作。

代码如下：

Status MergeAVL(BBSTree &T1, BBSTree &T2) {
 Status taller;
 if (!T2) return TRUE;
 if (T2->lchild) MergeAVL(T1, T2->lchild);    //T2左子树结点插入T1中
 if (T2->rchild) MergeAVL(T1, T2->rchild);    //T2右子树结点插入T2中
 if (!InsertAVL(T1, T2->data, taller)) return FALSE;
 return TRUE;
}

本文使用 mdnice 排版

平衡二叉树演示

平衡二叉树的定义

平衡二叉树的存储结构类型：

插入

删除

查找

分裂

合并