算法时间复杂度

定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间衡量度，计作：T(n) = O(f(n)),它表示随着问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

推导大O阶方法

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
• 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

以上得到的结果就是大O阶。

例1：

int sum = 0, n = 100;  // 执行一次
sum = (1+n)*n/2;	   // 执行一次
printf("%d", sum)	   // 执行一次

运行次数函数是f(n)=3，根据第一个规则先把常数项3改为1，没有最高阶，故该算法的时间复杂度为O(1)，可称之为“常数阶”。

例2：

int i;
for (i = 0; i < n; i++) {
	// 执行n次
}

分析循环结构可知算法的时间复杂度为O(n)，可称之为“线性阶”。

例3：

int i = 1;
while (i < n) {
	i = i * 2;
}

每次循环乘以2后，都更接近n，$2^{x}$ = n，得到$x=log_2{n}$，所以这个循环的复杂度为O($logn$)，可称之为“对数阶”。

....

除此之外还有“平方阶”、“立方阶”、“指数阶”等。

常用的时间复杂度耗费时间从小到大依次是： O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O($n^{2}$)<O($n^{3}$)<O($2^{n}$)。

总结

大O阶的推导复杂在对数列的一些相关运算，更多的是考察数学知识的掌握。

《大话数据结构》算法篇学习记录。