9.数据结构和算法[树]

为什么需要树这种数据结构

• 数组存储方式的分析
  优点：通过下标方式访问元素，速度快。对于有序数组，还可使用二分查找提高检索速度。
  缺点：如果要检索具体某个值，或者插入值(按一定顺序)会整体移动，效率较低
• 链式存储方式的分析
  优点：在一定程度上对数组存储方式有优化(比如：插入一个数值节点，只需要将插入节点，链接到链表中即可， 删除效率也很好)。
  缺点：在进行检索时，效率仍然较低，比如(检索某个值，需要从头节点开始遍历)
• 树存储方式的分析
  能提高数据存储，读取的效率, 比如利用 二叉排序树(Binary Sort Tree)，既可以保证数据的检索速度，同时也可以保证数据的插入，删除，修改的速度。
  案例: [7, 3, 10, 1, 5, 9, 12]

二叉树

概念

1.树有很多种，每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树。
2.二叉树的子节点分为左节点和右节点。
3.如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层，并且结点总数= 2^n -1 , n 为层数，则我们称为满二叉树。
4.如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为完全二叉树。

遍历

前序遍历: 先输出父节点，再遍历左子树和右子树
中序遍历: 先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树
后序遍历: 先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点
小结: 看输出父节点的顺序，就确定是前序，中序还是后序
前-> 父左右; 中->左父右; 后->左右父;

//编写前序遍历的方法
public void preOrder() {
    System.out.println(this); //先输出父结点
    //递归向左子树前序遍历
    if(this.left != null) {
        this.left.preOrder();
    }
    //递归向右子树前序遍历
    if(this.right != null) {
        this.right.preOrder();
    }
}
//中序遍历
public void infixOrder() {

    //递归向左子树中序遍历
    if(this.left != null) {
        this.left.infixOrder();
    }
    //输出父结点
    System.out.println(this);
    //递归向右子树中序遍历
    if(this.right != null) {
        this.right.infixOrder();
    }
}
//后序遍历
public void postOrder() {
    if(this.left != null) {
        this.left.postOrder();
    }
    if(this.right != null) {
        this.right.postOrder();
    }
    System.out.println(this);
}

查找节点

//前序遍历查找 ： 4次
/**
 * 
 * @param no 查找no
 * @return 如果找到就返回该Node ,如果没有找到返回 null
 */
public HeroNode preOrderSearch(int no) {
    System.out.println("进入前序遍历");
    //比较当前结点是不是
    if(this.no == no) {
        return this;
    }
    //1.则判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归前序查找
    //2.如果左递归前序查找，找到结点，则返回
    HeroNode resNode = null;
    if(this.left != null) {
        resNode = this.left.preOrderSearch(no);
    }
    if(resNode != null) {//说明我们左子树找到
        return resNode;
    }
    //1.左递归前序查找，找到结点，则返回，否继续判断，
    //2.当前的结点的右子节点是否为空，如果不空，则继续向右递归前序查找
    if(this.right != null) {
        resNode = this.right.preOrderSearch(no);
    }
    return resNode;
}

//中序遍历查找 ： 3次
public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
    //判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归中序查找
    HeroNode resNode = null;
    if(this.left != null) {
        resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
    }
    if(resNode != null) {
        return resNode;
    }
    System.out.println("进入中序查找");
    //如果找到，则返回，如果没有找到，就和当前结点比较，如果是则返回当前结点
    if(this.no == no) {
        return this;
    }
    //否则继续进行右递归的中序查找
    if(this.right != null) {
        resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
    }
    return resNode;

}

//后序遍历查找 ： 2次
public HeroNode postOrderSearch(int no) {

    //判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归后序查找
    HeroNode resNode = null;
    if(this.left != null) {
        resNode = this.left.postOrderSearch(no);
    }
    if(resNode != null) {//说明在左子树找到
        return resNode;
    }

    //如果左子树没有找到，则向右子树递归进行后序遍历查找
    if(this.right != null) {
        resNode = this.right.postOrderSearch(no);
    }
    if(resNode != null) {
        return resNode;
    }
    System.out.println("进入后序查找");
    //如果左右子树都没有找到，就比较当前结点是不是
    if(this.no == no) {
        return this;
    }
    return resNode;
}

删除节点

如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树.
测试，删除掉 5号叶子节点 和 3号子树.

public void delNode(int no) {
  if (root != null) {
    //如果刚好删除就是root,就相当于清空该二叉树
    if (root.getNo() == no) {
      root = null;
    } else {
      root.delNode(no);
    }
  }
}
public void delNode(int no) {
  if (this.left!=null && this.left.no == no) {
    this.left = null;
    return;
  }
  //判断是否删除的右子节点
  if (this.right!=null && this.right.no == no) {
    this.right = null;
    return;
  }
  //递归向左子树查找，并删除
  if (this.left != null) {
    this.left.delNode(no);
  }
  //递归向右子树查找，并删除
  if (this.right != null) {
    this.right.delNode(no);
  }
}

顺序二叉树

从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组
顺序存储二叉树的特点:
1.顺序二叉树通常只考虑完全二叉树
2.第n个元素的左子节点为 2 * n + 1
3.第n个元素的右子节点为 2 * n + 2
4.第n个元素的父节点为 (n-1) / 2
n : 表示二叉树中的第几个元素(按0开始编号)

//编写一个ArrayBinaryTree, 实现顺序存储二叉树遍历
class ArrBinaryTree {
  private int[] arr;//存储数据结点的数组
  public ArrBinaryTree(int[] arr) {
      this.arr = arr;
  }
  //重载preOrder
  public void preOrder() {
      this.preOrder(0);
  }
  //编写一个方法，完成顺序存储二叉树的前序遍历
  /**
   * 
   * @param index 数组的下标 
   */
  public void preOrder(int index) {
      //如果数组为空，或者 arr.length = 0
      if(arr == null || arr.length == 0) {
          System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
      }
      //输出当前这个元素
      System.out.println(arr[index]); 
      //向左递归遍历
      if((index * 2 + 1) < arr.length) {
          preOrder(2 * index + 1 );
      }
      //向右递归遍历
      if((index * 2 + 2) < arr.length) {
          preOrder(2 * index + 2);
      }
  }	
}

线索二叉树

问题分析:
当我们对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为 {8, 3, 10, 1, 6, 14 }
但是 6, 8, 10, 14 这几个节点的 左右指针，并没有完全的利用上.
如果我们希望充分的利用 各个节点的左右指针， 让各个节点可以指向自己的前后节点,怎么办?
解决方案-线索二叉树

线索二叉树基本介绍

n个结点的二叉链表中含有n+1 【公式 2n-(n-1)=n+1】 个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为"线索"）

这种加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树(Threaded BinaryTree)。根据线索性质的不同，线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种

一个结点的前一个结点，称为前驱结点
一个结点的后一个结点，称为后继结点