题目:
n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
上图为 8 皇后问题的一种解法。
给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例:
输入：4
输出：[
[".Q..", // 解法 1
"...Q",
"Q...",
"..Q."],
["..Q.", // 解法 2
"Q...",
"...Q",
".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。
提示：
- 皇后彼此不能相互攻击，也就是说：任何两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。
抛砖引玉
翻一下题目的意思：
出入 N，要在长宽为 N 的矩阵中放入 N 个 Q，且每个 Q 不能处在同行同列也不能处在对角线上
思路
第一下看示例的输出其实有点不符合直觉，第一反应应该是从第一位开始放 Q：
| Q | . | . | . |
|---|---|---|---|
| . | . | Q | . |
| . | . | . | . |
| . | . | . | . |
[0,2] -> [ [0,0],[1,2] ]
这个时候就知道为什么输出不是从开始就放 Q，因为如果在某些位置放置了 Q，后续可能不能放下 n 个 Q
那么此时就有两种方式开启行的枚举：
- 回溯到开始从新枚举
- 就当前位回溯开始新的枚举
如果采用第 1 种方式回溯，可能在当前起始填充位下存在正确的解法，直接切换了起始位就会造成解法丢失，则采用的第 2 种方法回溯
回溯第二个 Q，给其重新放置位置
| Q | . | . | . |
|---|---|---|---|
| . | . | . | Q |
| . | Q | . | . |
| . | . | . | . |
[0,3,1] -> [ [0,0],[1,3],[2,1] ]
还是放置不下 4 个 Q，说明枚举了第二个 Q 的位置还是不能满足条件，次数枚举了 Q 起始位置为[0,0]的组合，确定起始位置为[0,0]不存在正解
继续向后枚举起始位置
| . | Q | . | . |
|---|---|---|---|
| . | . | . | Q |
| Q | . | . | . |
| . | . | Q | . |
[1,3,0,2] -> [ [0,1],[1,3],[2,0],[3,2] ]
得到一种解法，记录下拉继续枚举...
/**
* @param {number} n
* @return {string[][]}
*/
var solveNQueens = function(n) {
let _result = [],
tmp = []
dfs(tmp)
function dfs(tmp) {
if (tmp.length === n) {
let item = []
for (let i = 0; i < n; i++) {
const s = Array(n).fill('.')
s.splice(tmp[i], 1, 'Q')
item.push(s.join(''))
}
_result.push(item)
return
}
for (let i = 0; i < n; i++) {
if (isValid(tmp, i)) {
// 遇到满足“不能相互攻击”的点就先占着后继续安放下一个Q
tmp.push(i)
dfs(tmp)
// 回溯已经安放的Q
tmp.pop()
}
}
}
// 判断新的位置是否满足“不能相互攻击”
function isValid(tmp, Ny) {
// 传入校验的坐标：[Nx,Ny]
let Nx = tmp.length
for (let x = 0; x < Nx; x++) {
let y = tmp[x]
// 不同列，因为所有做行一定不同行，不在斜对角上[注：斜对角判断]
if (y === Ny || Nx - y === x - Ny || Nx + y === x + Ny) {
return false
}
}
return true
}
return _result
}
注：斜对角判断
| a | * | b |
|---|---|---|
| * | A | * |
| c | * | d |
元素 A ->[1,1]的斜对角有：
- a->[0,0] Nx+y === x+Ny -> 1+0 == 0+1
- b->[2,0] Nx-y === x-Ny -> 2-1 == 1-0
- c->[0,2] Nx-y === x-Ny -> 1-0 == 2-1
- d->[2,2] Nx+y === x+Ny -> 1+2 == 2+1
坐标[Nx,Ny]的斜对角坐标[x,y]都满足 Nx-y=== x-Ny 或者 Nx+y===x+Ny
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