递归思想
递归思想
递归的三大要素
- 明确你这个函数想要干什么
- 寻找递归结束条件
- 找出函数的等价关系式
实战型例子
案例1：斐波那契数列
斐波那契数列的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34....，即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1.....,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。
1、第一递归函数功能
假设 f(n) 的功能是求第 n 项的值，代码如下：
int f(int n){
}
2、找出递归结束的条件
显然，当 n = 1 或者 n = 2 ,我们可以轻易着知道结果 f(1) = f(2) = 1。所以递归结束条件可以为 n <= 2。代码如下：
int f(int n){
if(n <= 2){
return 1;
}
}
第三要素：找出函数的等价关系式
题目已经把等价关系式给我们了，所以我们很容易就能够知道 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。我说过，等价关系式是最难找的一个，而这个题目却把关系式给我们了，这也太容易，好吧，我这是为了兼顾几乎零基础的读者。
所以最终代码如下：
int f(int n){
// 1.先写递归结束条件
if(n <= 2){
return 1;
}
// 2.接着写等价关系式
return f(n-1) + f(n - 2);
}
案例2：小青蛙跳台阶
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
1、第一递归函数功能
假设 f(n) 的功能是求青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法，代码如下：
int f(int n){
}
2、找出递归结束的条件
我说了，求递归结束的条件，你直接把 n 压缩到很小很小就行了，因为 n 越小，我们就越容易直观着算出 f(n) 的多少，所以当 n = 1时，你知道 f(1) 为多少吧？够直观吧？即 f(1) = 1。代码如下：
int f(int n){
if(n == 1){
return 1;
}
}
第三要素：找出函数的等价关系式
每次跳的时候，小青蛙可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶，也就是说，每次跳的时候，小青蛙有两种跳法。
第一种跳法：第一次我跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。
第二种跳法：第一次跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。
所以，小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。至此，等价关系式就求出来了。于是写出代码：
int f(int n){
if(n == 1){
return 1;
}
ruturn f(n-1) + f(n-2);
}
大家觉得上面的代码对不对？
答是不大对，当 n = 2 时，显然会有 f(2) = f(1) + f(0)。我们知道，f(0) = 0，按道理是递归结束，不用继续往下调用的，但我们上面的代码逻辑中，会继续调用 f(0) = f(-1) + f(-2)。这会导致无限调用，进入死循环。
这也是我要和你们说的，关于递归结束条件是否够严谨问题，有很多人在使用递归的时候，由于结束条件不够严谨，导致出现死循环。也就是说，当我们在第二步找出了一个递归结束条件的时候，可以把结束条件写进代码，然后进行第三步，但是请注意，当我们第三步找出等价函数之后，还得再返回去第二步，根据第三步函数的调用关系，会不会出现一些漏掉的结束条件。就像上面，f(n-2)这个函数的调用，有可能出现 f(0) 的情况，导致死循环，所以我们把它补上。代码如下：
int f(int n){
//f(0) = 0,f(1) = 1，等价于 n<=1时，f(n) = n。
if(n <= 1){
return n;
}
ruturn f(n-1) + f(n-2);
}
案例3：反转单链表。
反转单链表。例如链表为：1->2->3->4。反转后为 4->3->2->1
链表的节点定义如下：
class Node{
int date;
Node next;
}
1、定义递归函数功能
假设函数 reverseList(head) 的功能是反转但链表，其中 head 表示链表的头节点。代码如下：
Node reverseList(Node head){
}
2. 寻找结束条件
当链表只有一个节点，或者如果是空表的话，你应该知道结果吧？直接啥也不用干，直接把 head 返回呗。代码如下：
Node reverseList(Node head){
if(head == null || head.next == null){
return head;
}
}
3. 寻找等价关系
这个的等价关系不像 n 是个数值那样，比较容易寻找。但是我告诉你，它的等价条件中，一定是范围不断在缩小，对于链表来说，就是链表的节点个数不断在变小，所以，如果你实在找不出，你就先对 reverseList(head.next) 递归走一遍，看看结果是咋样的。例如链表节点如下
我们就缩小范围，先对 2->3->4递归下试试，即代码如下
Node reverseList(Node head){
if(head == null || head.next == null){
return head;
}
// 我们先把递归的结果保存起来，先不返回，因为我们还不清楚这样递归是对还是错。，
Node newList = reverseList(head.next);
}
我们在第一步的时候，就已经定义了 reverseLis t函数的功能可以把一个单链表反转，所以，我们对 2->3->4反转之后的结果应该是这样：
我们把 2->3->4 递归成 4->3->2。不过，1 这个节点我们并没有去碰它，所以 1 的 next 节点仍然是连接这 2。
接下来呢？该怎么办？
其实，接下来就简单了，我们接下来只需要把节点 2 的 next 指向 1，然后把 1 的 next 指向 null,不就行了？，即通过改变 newList 链表之后的结果如下：
也就是说，reverseList(head) 等价于 ** reverseList(head.next)** + 改变一下1，2两个节点的指向。好了，等价关系找出来了，代码如下(有详细的解释)：
//用递归的方法反转链表
public static Node reverseList2(Node head){
// 1.递归结束条件
if (head == null || head.next == null) {
return head;
}
// 递归反转 子链表
Node newList = reverseList2(head.next);
// 改变 1，2节点的指向。
// 通过 head.next获取节点2
Node t1 = head.next;
// 让 2 的 next 指向 2
t1.next = head;
// 1 的 next 指向 null.
head.next = null;
// 把调整之后的链表返回。
return newList;
}
尾递归的介绍
首先，解答什么是尾递归。简单来讲，尾递归是指在一个方法内部，递归调用后直接return，没有任何多余的指令了。
比如，一个递归实现的累加函数
public static int acc(int n){
if(n == 1){
return 1;
}
return n + acc(n - 1);
}
请问这个是尾递归么？答案是否定的。可能有的人会说，明明最后一个步骤就是调用acc，为啥不是尾递归？实际上，你看到的最后一个步骤不代表从指令层面来讲的最后一步。这个方法的return先拿到acc(n-1)的值，然后再将n与其相加，所以求acc(n-1)并不是最后一步，因为最后还有一个add操作。把上面的代码做个等价逻辑转换就很清晰了。
public static int acc(int n){
if(n == 1){
return 1;
}
int r = acc(n - 1);
return n + r;
}
看，是不是还隐含一个add操作？累加的尾递归写法是下面这样子的：
public static int accTail(int n, int sum){
if(n == 1){
return sum + n;
}
return accTail(n - 1,sum + n);
}
递归调用后就直接返回了，这是真正的尾递归。
接着讲一下为啥尾递归容易优化。
递归调用的缺点是方法嵌套比较多，每个内部的递归都需要对应的生成一个独立的栈帧，然后将栈帧都入栈后再调用返回，这样相当于浪费了很多的栈空间.比如acc(3),执行过程如下图：
如上图可见，这个递归操作要同时三个栈帧存在于栈上才能收尾。尾递归要避免的是，嵌套调用的展开导致的多个栈帧并存的情况。
那为啥尾递归就能避免这种情况呢。acc这种递归相当于外层调用依赖内层调用的结果，然后再做进一步的操作，最终由最外层的方法收口操作，返回最终结果。 但尾递归由于将外层方法的结果传递给了内层方法，那外层方法实际上没有任何利用价值了，直接从栈里踢出去就行了，所以可以保证同时只有一个栈帧在栈里存活，节省了大量栈空间。 整个逻辑上来讲是这样的：main方法将accTail(3,0)入栈accTail(3,0)执行n--，sum+=3,将两个结果传递给下个accTail,即准备执行accTail(2,3)。这时accTail(3,0)生命周期结束，出栈。 以此类推，acc(2,3)入栈出栈，acc(1,5)入栈出栈，最后得到最终结果6。 通过上面的逻辑分析，方法内部只是执行一系列操作，将操作结果传递给下一个递归调用，所以完全可以将调用递归方法之前的逻辑单独抽出来一个没有递归调用的方法，至于递归的逻辑改为由while循环控制调用流程，啥时候结束、啥时候进行下一次调用。 因为刚才讲了，尾递归下次操作之前能够将上次栈帧释放，可以保证只有一个相关的栈帧在栈里，因此改用循环控制足够了用循环
