常用排列组合公式1. 排列公式人们常约定把 $0!$ 作为 $1$。当 $r$ 不是非负整数时，记号 $r!$ 没有意

1. 排列公式

$n$ 个相异物件取 $r$ （ $1 \leq r \leq n$ ）个的不同排列总数，为

P_r^n = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)

特别地，若 $n=r$ ，得

P_r^r = r(r-1)\cdots 1 = r!

人们常约定把 $0!$ 作为 $1$ 。当 $r$ 不是非负整数时，记号 $r!$ 没有意义。

2. 组合公式

$n$ 个相异物件取 $r$ 个（ $1 \leq r \leq n$ ）个的不同组合总数，为

C_r^n = \binom{n}{r} = \frac{P_r^n}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n(n-1) \cdots (n-r+1)}{r!}

当 $r=0$ 时，按 $0!=1$ 的约定，算出 $\binom{n}{0} = 1$ ，这可看作一个约定。

只要 $r$ 为非负整数， $n$ 不论为任何实数，都有意义。故 $n$ 可不必限制为自然数。例如：

\binom{-1}{r} = (-1)(-2) \cdots (-r) / r! = (-1)^r

3. 组合系数与二项式展开的关系

组合系数 $\binom{n}{m}$ 又常称为二项式系数，因为它出现在下面熟知的二项式展开的公式中：

(a+b)^n = \sum_{i=0}^n \dbinom{n}{i}a^i b^{n-i}

利用这个关系式，可得出许多有用的组合公式。例如，令 $a=b=1$ ，得

\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{1} + \cdots + \dbinom{n}{n} = 2^n

令 $a = -1，b = 1$ ，则得：

\dbinom{n}{0} - \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{2} - \cdots + (-1)^n\dbinom{n}{n} = 0

另一个有用的公式是

\dbinom{m+n}{k} = \sum_{i=0}^{k}\dbinom{m}{i}\dbinom{n}{k-i}

它是由恒等式 $(1+x)^{m+n} = (1+x)^m(1+x)^n$ 即

\sum_{j=0}^{m+n} \dbinom{m+n}{j} x^j = \sum_{j=0}^{m} \dbinom{m}{j} x^j \sum_{j=0}^{n} \dbinom{n}{j}x^j

比较两边的 $x^k$ 项的系数得到的。

其实，这条公式从直观上理解要更容易，即有两堆物品，第一堆有 $m$ 件，第二堆有 $n$ 件，要从这两堆物品中取出 $k$ 件，有多少种取法？显然，我们可以先在第一堆取 $i$ 件（ $0 \leq i \leq k$ ），然后在第二堆取 $k - i$ 件，则取法有 $\binom{m}{i} \binom{n}{k-i}$ 种，把 $i$ 的所有取值结果相加，即得上面的公式。

4. 物品分堆

$n$ 个相异物件分成 $k$ 堆，各堆物件数分别为 $r_1, \cdots, r_k$ 的分法是

\frac{n!}{r_1! \cdots r_k!}

此处， $r_1, \cdots, r_k$ 都是非负整数，其和为 $n$ 。注意：这里要计较堆的次序，例如，若有 5 个物体 $a，b，c，d，e$ 分成 $3$ 堆，则 $(ac)，(d)，(be)$ 和 $(be)，(ac)，(d)$ 应算作两种不同的分法。如果不考虑次序，还需要再除以 $k!$ 。

此式常称为多项式系数，因为它是 $(x_1+\cdots+x_k)^n$ 的展开式中 $x_1^{r_1} \cdots x_k^{r_k}$ 这一项的系数。