透视投影变换矩阵推理:
- 先将透视投影变成正交投影的形式
同理：
2、所以，x、y、z的变化可以写成以下形式，再都乘以一个固定的z，还是表示同一个点
3、现在我们要算出左边这个4x4的变换矩阵
根据数据，我们可以补填出的部分数字：
4、通过两个已知条件
1）任何一个点在近平面上不会发生任何变化
2）远平面上的点的z不会变化
可以求出剩下的数字
5、根据条件一
此时矩阵的未知的第三行和近平面上的点相乘等于n平方，由此可以推断出前两个数为0
所以：
6、根据条件二
取一个特殊的点，即远平面的中心点，它的位置也没有发生变化
7、将上面两个式子联立，可以解出
8、将上面的矩阵和正交投影矩阵结合，就可以得出最终的透视投影矩阵
思考：虽然远近平面上的点的z在透视变为正交时没有变，那中间的点的z是如何变化的？是推向近平面还是推向远平面？
答：视锥体内的点被挤压的更偏向了远平面f
知乎上这位 小猫耳朵 同学写得很详细，在此引用以下：
zhuanlan.zhihu.com/p/122411512
以下是摘取的主要证明内容：
透视变为正交时，f(z) = z′/w′ = n+f-nf/z，当0<n<z<f时，n+f-nf/z跟z的大小关系：
在n-f这段区域中，f(z)是大于g(z)的，所以视锥体内的点被挤压的更偏向了远平面f
