前言
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树
定义
树（Tree） 是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
- 有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
- 当n>1时，其余结点可分为
m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
此外，树的定义还需要强调以下两点：
n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
节点
结点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。
结点的度
结点拥有的子树数目称为结点的度。
结点关系
结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。 同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
- 如图：A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。
- 结点B与结点C互为兄弟结点。
结点层次
从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。
树的深度
二叉树
定义
二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。
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二叉树特点
由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：
- 每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
- 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
- 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。
二叉树性质
由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下性质：
若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：
- 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
- 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
- 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
斜树
定义
斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
满二叉树
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定义
满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点
满二叉树的特点有：
- 叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
- 非叶子结点的度一定是2。
- 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
完全二叉树
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定义
完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
完全二叉树特点
特点：
- 叶子结点只能出现在最下层和次下层。
- 最下层的叶子结点集中在树的左部。
- 倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
- 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
- 同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
- 注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。
二叉树的存储结构
定义
二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。
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如图一棵完全二叉树按照顺序存储：
二叉树遍历
定义
二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。
访问次序
二叉树的访问次序可以分为四种：
- 前序遍历 根结点 > 左子树 > 右子树
- 中序遍历 左子树> 根结点 > 右子树
- 后序遍历 左子树 > 右子树 > 根结点
- 层序遍历 仅仅需按层次遍历就可以
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前序遍历
定义
前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
遍历流程
1、从根结点出发，则第一次到达结点A，故输出A;
2、继续向左访问，第一次访问结点B，故输出B；
3、按照同样规则，输出D，输出H；
4、当到达叶子结点H，返回到D，此时已经是第二次到达D，故不在输出D，进而向D右子树访问，D右子树不为空，则访问至I，第一次到达I，则输出I；
5、I为叶子结点，则返回到D，D左右子树已经访问完毕，则返回到B，进而到B右子树，第一次到达E，故输出E；
6、向E左子树，故输出J；
7、按照同样的访问规则，继续输出C、F、G；
遍历结果
前序遍历输出为：ABDHIEJCFG
中序遍历
定义
中序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
遍历流程
1、从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
2、到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H；
3、H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D；
4、由D返回至B，第二次到达B，故输出B；
5、按照同样规则继续访问，输出J、E、A、F、C、G；
遍历结果
中序遍历输出为：HDIBJEAFCG
后序遍历
定义
后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
遍历流程
1、从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
2、到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，不输出H；
3、H右子树为空，则返回至H，此时第三次到达H，故输出H；
4、由H返回至D，第二次到达D，不输出D；
5、继续访问至I，I左右子树均为空，故第三次访问I时，输出I；
6、返回至D，此时第三次到达D，故输出D；
7、按照同样规则继续访问，输出J、E、B、F、G、C，A；
遍历结果
后序遍历输出为：HIDJEBFGCA
层次遍历
遍历流程
层次遍历就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。
遍历结果
层次遍历输出为：ABCDEFGHIJ
遍历实战
已知前序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。
例题：
若一棵二叉树的前序遍历为ADEFBC，中序遍历为EDFACB，请画出这棵二叉树。
分析：
前序遍历第一个输出结点为根结点，故A为根结点。早中序遍历中根结点处于左右子树结点中间，故结点A的左子树中结点有DEF，右子树中结点有BC。
已知后序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。
后序遍历中最后访问的为根结点，因此可以按照上述同样的方法，找到根结点后分成两棵子树，进而继续找到子树的根结点，一步步确定二叉树的形态。
注意
已知前序遍历序列和后序遍历序列，不可以唯一确定一棵二叉树。
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