一、树
1.1.概念
- 树是n(n>=0)个结点的有限集合，n=0时称为空树，在任一非空树中
- 有且仅有一个称为根的结点
- 其余的结点可分为m(m>=0)个互不相交的子集T1, T2..., Tm，其中每个子集本身又是一棵树，并称其为根结点的子树
1.2.基本概念
- 双亲和孩子
- 兄弟：具有相同双亲的结点
- 结点的度：一个结点的子树的个数
- 树的度：树中各结点的度的最大值
- 叶子结点：也称为终端结点，指度为0的结点
- 内部结点：度不为0的结点称为分支结点或非终端结点。除根结点外，分支结点也称为内部结点
- 结点的层次：根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推
- 树的高度：一棵树的最大层数记为树的高度(深度)
- 有序(无序)树：若树中的结点的各子树看成从左到右具有次序的，即不能交换，则称为该树为有序树，否则称为无序树
- 森林：是m(m>=0)棵互不相交的树的集合
1.3.树的存储结构
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标准存储结构
- 结点的数据
- 指向子结点的指针
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带逆存储结构
- 结点的数据
- 指向子结点的指针
- 指向父结点的指针
1.4.树的遍历
- 遍历是指对树中所有结点信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次
- 前序遍历
- 后序遍历
- 层次遍历
二、二叉树
2.1.概念
- 二叉树(BinaryTree)是n(n>=0)个结点的有限集合，它或者是空树(n=0)，或者是由一个根节点及两棵互不相交的，分别称为左子树和右子树的二叉树所组成
- 二叉树和树的区别
- 二叉树的结点的最大度为2，而树不限制结点的度
- 二叉树的结点的子树要区分左子树和右子树
2.2.性质
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二叉树第i层上的结点数目最多为2(i-1)次方(i>=1)
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深度为k的二叉树至多有2k次方-1个结点(k>=1)
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在任意一棵二叉树中，若终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2 + 1
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具有n个结点的完全二叉树的深度为(log2 n ) + 1
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对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层次自左至右进行编号，则对任一结点i有：
- 若i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲，若i>1，则其双亲为i/2
- 若2i>n，则结点i无左孩子，否则其左孩子为2i
- 若2i+1>n，则结点i无右孩子，否则其右孩子为2i+1
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若深度为k的二叉树有2k - 1个结点，则称其为满二叉树
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深度为k、有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树
2.2.二叉树的存储结构
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顺序存储结构
- 对完全二叉树既简单又节省空间，对于一般的二叉树则不适用
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链式存储结构
- 由于二叉树中结点包含有数据元素、左子树根、右子树根及双亲等信息，因此可以用三叉链表或二叉链表来存储二叉树。链表的头指针指向二叉树的根结点
2.3.二叉树的遍历
- 前序遍历——先根再左子后右子
- 中序遍历——先左子再根后右子
- 后序遍历——先左子再右子后根
2.4.平衡二叉树
- 又被称为AVL树，具有以下性质：
- 一棵空树或它的左右子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树
2.5.线索二叉树
- n个结点的二叉链表中含有n+1个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，存放指向结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针(这种附加的指针称为“线索”)
2.6.最优二叉树
- 给定n个权值作为n的叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近
