typescript的类型编程是什么？
大家在平时写typescript的代码时，用到的最多功能应该是它的类型标注，给变量加上类型约束，一方面是方便自己的编码，避免明显的bug，另外一方面是增强了代码的可读性。因为js语言的灵活性比较高，typescript的类型系统也被设计得比较强大，甚至强大到可以单独作为一门编程语言。下面的内容就是论证了typescript的类型系统确实可以作为一门编程语言，并用typescript的类型系统实现了四则运算。
为什么要介绍typescript的类型元编程？
typescirpt的类型元编程属于奇技淫巧，在日常工作中很难会用到，没什么卵用。但是了解这方面可以帮助扩展视野，加深对typescript类型系统的理解，此外也能够让我们了解到编程语言的本质。
一. 图灵完备
为了讲解图灵完备，需要介绍一下图灵机的概念，但是为了降低门槛，这里先来讲解最简单的计算模型：有限状态自动机。
有限状态自动机
有限自动机可以理解为一个理论上的机器，它由一个有限的内部状态集和一组控制规则组成。在给定输入字符串的情况下，它会根据事先制定好的控制规则来自动运行（这就是自动机的由来嘛），具体来讲，自动机在每步运行时，会按照字符串的顺序读入一个字符，然后根据当前读入的字符和当前的状态，来决定转向哪个状态，至于具体转向哪个状态则由控制规则来确定。
下面的图解能够大概描述自动机的运行过程
其中，箭头指向当前输入的字符，刚开始自动机的初始状态是S0，在读入第一个字符后,内部状态从S0变成S1，在读入第二个字符b后，状态从S1变为S2，之后的过程以此类推，直到自动机读完所有的输入字符。
有限状态自动机的作用
在了解有限自动机的原理后，不免会有一个疑问，这种东西到底有什么用？ 实际上，有限自动机与正则表达式是等价的。一个正则表达式可以转换成一个有限自动机，反之亦然。
比如说，现在有个正则表达式：a(b|c)*d，我们可以把它转化成如下的自动机：
这个自动机有三个状态，其中s0是初始状态，s2是接受状态。刚开始时，自动机处在s0状态，当读入字符a时，状态就变为s1，之后，无论读入多少字符a和b，状态仍为s1，此时一旦读入字符d时，状态就变为s2（接受状态）。 而如果自动机的最终状态停留在s2时，就表明输入字符串能够被该自动机所接受，也就是说该字符串能够被该正则表达式所描述。实际上，正则表达式的内部实现原理就是用自动机来实现的。
有限自动机的扩展 —— 图灵机
虽然有限自动机很有用，可以用于匹配正则表达式，但是它的计算能力是有局限性的。比如说现在有一个字符串类似于000...111，字符串的前半部分全是0，后半部分全是1，问0的个数和1的个数相等吗？仔细想一想，像这类字符串能不能用正则表达式来描述？
答案是不能的，既然不能用正则表达式来描述，自然也就不能被有限自动机计算。至于为什么不能，这里就不再展开了，不过可以简单地提一下，正则表达式与正则文法是等价的，而上述字符串是不能用正则文法来描述的，至少要用上下文无法文法才能描述，所以有限自动机无法判定在给定的字符串中0和1的个数是否相等。
既然有限自动机的计算能力是有限的，那能否扩展一下这个自动机，从而让它的计算能力更加强大？
答案是当然可以。
接下来我们就扩展一下这个自动机让它变成图灵机。
首先图灵机会有一个无限长的纸带，纸带上的一个格子可以储存一个字符，图灵机的指针不仅可以右移还可以左移，此外，图灵机还可以擦写当前的字符。和图灵机相比，有限自动机则有太多局限性了，有限自动机没有纸带，只能挨个挨个地读入输入字符串，指针只能右移不能左移，也不能修改当前字符，唯一所能做的操作是改变自身状态，而图灵机在读入一个字符后，可以做出三种操作：擦写当前字符，修改自身状态和决定指针左移还是右移。
例如在上面的图例中，图灵机的输入字符串是abcde，放在纸带中间，两边则是无限延伸的空白纸带。这个图灵机有两个状态s0，s1，刚开始时，初始状态是s0，在读入字符a后，做出三种操作：擦写当前字符为a（也就是没有改变当前字符），状态变为s1，指针右移；接着，在读入当前字符b后，又做出三种操作：擦写当前字符为b（同样地，当前字符并没有改变），状态变为s1，指针左移。
最后发现了没有？其实这个图灵机会不停地在字符a和b之间来回切换，永不停止。所以图灵机和有限自动机还有一个区别：有限自动机在读完字符串后肯定会停止，而图灵机有可能永不停机，即陷入无限循环当中。
有限自动机在被扩展后变为图灵机，那它的计算能力会有多大的提高呢？事实上，图灵机的计算能力非常强大，任何一个可以被描述的算法都能被图灵机所实现，是目前已知最强大的计算模型，你没有办法找出比它更强大的计算模型。
现在有个问题：难道就不能再对图灵机进行一些扩展，使它的计算能力更加强大？比如说原来只有一条空白纸带，现在我多给它几条纸带，原来指针只能移动一格，现在指针一次可以移动多格，做出这样的扩展，那图灵机能不能拥有更强的计算能力？
答案是不能的，因为加入的这些特性其实都可以用原来的图灵机模拟出来，这就好比js语言的语法糖，近些年来，js语言标准的推出速度越来越快了，先是es6，然后是es7，es8，现在连es10都出来了，但是这些语法糖顶多让你写代码写得简洁，并不存在有些问题你能用es10解决但是es5解决不了的，这也是像babel这类语法转化器能够存在的本质原因。
图灵完备
在上面的描述中，不知你发现了没有？一个特定的图灵机其实对应了一个特定的算法，在给定算法的情况下，我们可以把它转化成一个特定的图灵机，而一个图灵机只包含有限的状态，有限的转换规则，纸带虽然无限长，但上面的数据是有限的，总而言之，都是有限的数据，所以我们可以对它进行编码。此时，存在有一类特殊的图灵机可以接受其他图灵机的编码作为输入，然后来模拟运行这个图灵机，从而得到运行结果，这个特殊图灵机被称为通用图灵机。
其实现在的计算机就是通用图灵机的具体实现，它可以接受并运行任何一段计算机程序，这里的计算机程序可以理解为特定图灵机的编码实现。
在这里我们要做一个有趣的类比：一个特定的图灵机可以被具体地编码为一段计算机程序，通用图灵机可以模拟任何图灵机，如果有一门编程语言可以编写描述任何一段计算机程序，那么在某种程度上，通用图灵机和这门编程语言是等价的，这个时候，我们称这门编程语言是图灵完备的。
这个说法有点绕，简单来说就是通用图灵机可以模拟任何图灵机，图灵完备的编程语言可以对任何图灵机进行编码。
支持图灵完备最少需要支持哪些特性？
其实模拟图灵机所需要的条件并不苛刻，一般来讲，一门编程语言只要支持数组读写、循环和条件判断，就是图灵完备的，所以市面上几乎所有的编程语言都是图灵完备的。不过，这里有一个问题：为什么只要支持数组读写、循环和条件判断，就是图灵完备的？
- 数组读写就不用说了，数组对应图灵机里面的无限长纸带，读写对应着访问字符和擦写字符
- 循环呢？在图灵机的描述里根本就没有提到循环，为什么这里需要循环？仔细想一想，编程语言里面的循环其实对应着指针左移，假设我们把循环去掉，那么程序就会一路从头执行到尾（对应指针右移），直到最后停止，而循环在计算机底层会被翻译跳转，跳转到哪里去？当然是跳转到前头去，这不就是指针左移吗？
- 条件判断也很容易理解，如果把条件判断去掉，那状态转移没法实现，此外循环也没有办法跳出
二. typescript的类型系统是图灵完备的
上面铺垫了很多，终于来到激动人心的时刻，接下来我们将证明typescript的类型系统是图灵完备的。 在这里，我将假设你有最基本的typescirpt类型系统知识。
1. 条件判断
在typescript的类型系统中，有一个关键词extends很有用,准确地来讲，extends在typescript里有两种用法，一种是用于类的继承，比如
class A extends B {
}
另外一种用法是用于判断类型T的变量是否可以赋值给类型为U的变量，如果可以，则返回类型X，否则是Y（这个用法就类似js里面的三元运算）
T extends U ? X : Y
由于typescript还支持字面类型（所谓字面类型就是一个常量就是一个类型，比如说number属于一般类型，而常量1可以单独作为一个类型），所以这个关键词在typescript的类型编程中非常有用。除了可以用它来判断一个类型是否是另外一个类型的子类，还可以用来判断两个字面类型是否相同，比如type a = 1 extends 1 ? true : false,这个表达式里面的1，true，false都是字面类型，因为两个1相同，所以表达式会返回第一个类型，类型a便是字面类型true。因为extends既可以用来判断两个类型是否存在继承关系，还可以判断两个字面类型是否相同，所以它比js中判断是否相等的运算符更强大。
2. 无限长的纸带
typescript的类型可以递归定义：
type Node = {
prev: Node;
item: any;
}
发现了没有？其实这跟链表的定义很类似，所以我们可以用这个方式来实现一个栈，
type StackLike{
prev: StackLike;
item?: any;
}
type EmptyStack = {
prev: EmptyStack
}
type PushStack<T, Stack extends StackLike> = {
prev: Stack;
item: T;
}
type PopStack<Stack extends StackLike> = Stack['prev']
type PeekStack<Stack extends StackLike> = Stack extends {item: infer T} ? T : never
/**
* 在这里的定义实现当中，我们用到了typescript另外一个高级特性：infer，
* infer表示推断类型, infer T表示把推断出来的类型赋值给T。
* 比如说在定义了PeekStack之后，可以这样调用`type a = PeekStack<{item:number}>`,
* typescript会把`{item:number}`和`{item: infer T}`进行匹配推断，
* 很明显是可以推断的，T应当是类型number。
* 但如果这样调用`type b = PeekStack<{item1: number}>`,item1和item无法匹配，所以extends会返回第二个类型，也就是never。
*/
在这个实现当中，StackLike表示的是栈中一个节点，而且是栈顶。由于压栈（PushStack）可以无限进行下去，所以我们可以理解为一条单向无限长的纸带，两个栈加一块不就是一条双向无限长的纸带吗？
3.循环
在typescript的类型系统中没有循环的概念，但是我们可以用递归来模拟循环。比如
type Bottom<Stack extends StackLike> =
PeekStack<PopStack<Stack>> extends never ?
PeekStack<Stack> : Bottom<PopStack<Stack>>
在定义中，我们递归调用了自身定义，extends用于条件判断，避免无限递归下去。你能看出这段表达式的含义？
事实上，上面那行代码会被typescript的类型检查器报错，但是有个变通的方法可以实现相同的功能：
type Bottom<Stack extends StackLike> = {
'true': PeekStack<Stack>;
'false': Bottom<PopStack<Stack>>;
}[PeekStack<PopStack<Stack>> extends never ? 'true' : 'false'];
在这里用到了typescript的另外一个高级特性：映射类型，说白了，就是跟js的object一样，可以定义一个包含多个键值对的object，然后根据键名取出相应的东西，在js中是具体的值，在ts的类型系统中则是类型。而在定义映射类型时，递归调用自身不会被报错。
根据上面的论述，我们证明了typescript的类型系统满足支持图灵完备所需的三个特性，所以typescript的类型系统是图灵完备的。
三. 利用typescript的类型系统实现四则运算
既然typescript的类型系统是图灵完备的，那么理论上其他编程语言能做的，typescript的类型系统也能做，为了能简单证明这一点，下面将用ts的类型系统实现四则运算。
1.实现自然数系统
为了实现四则运算, 最起码地，得需要一个数字系统， 虽然typescript的类型系统支持数字字面类型，比如说可以这样写
type a = 1;
type b = 2;
但是我们不能简单地直接借用过来，因为字面类型和字面类型之间没有任何关系，我们不能对字面类型做出任何操作，比如这样写type a = 1 + 1会直接报错。
为了解决这一问题，我们只能从头开始实现一个自然数系统，想一想，自然数是怎么定义的？ 这里，我们将借用皮亚诺公理来定义自然数，首先定义一个数为0，然后把1看成是0的后继，把2看成1的后继，发现了没有？这和之前的栈的实现很类似，所以自然数系统又可以用递归定义来实现。
// 定义自然数的结构
type Num = {
prev?: Num;
isZero: 'true' | 'false';
}
// 直接定义0
type Zero = {
isZero: 'true';
}
// 获取一个数的后继，和压栈类似
type Next<T extends Num> = {
prev: T;
isZero: 'false';
}
// 获取这个数的上一个数，和弹栈类似
type Prev<T extends Num> = T['isZero'] extends 'true' ? T['prev'] : never
2.实现自然数的加减乘除
在定义好自然数后，实现加减乘除就不难了
2.1 自然数的加法
加法可以理解为后继的重复，1+2，理解为取1的后继的后继，很明显需要循环来实现，但ts类型系统没有循环，但可以用递归来实现。
type Add<T1 extends Num, T2 extends Num> = {
'true': T1,
'false': Add<Next<T1>,Prev<T2>>
}[T2['isZero']]
这里的边界条件是判断T2是否为0，如果是0，则直接返回T1，如果不是，则取T1的后继，取T2的前继，再递归调用直到T2为0
2.2 自然数的减法
在做减法时可以注意到这样一个现象：a-b = (a-1) - (b-1)，所以在递归实现中，我们不停地取T1、T2的前继，直到其中某个数为0。不过值得注意的是，自然数的减法不能出现负数，必须保证被减数要大于等于减数。
type Sub<T1 extends Num, T2 extends Num> = {
'true': T1,
'zero': n0,
'false': Sub<Prev<T1>, Prev<T2>>,
}[IsZero<T1> extends 'true' ? 'zero' : IsZero<T2> extends 'true' ? 'true' : 'false']
2.3 自然数的乘法
加法是后继的重复，而乘法是加法的重复，实现过程与加法类似，只不过多了一个累加器。
type Mul<T1 extends Num, T2 extends Num, Acc extends Num = Zero> = {
'true': Acc,
'false': Mul<Prev<T1>, T2, Add<T2, Acc>>,
}[IsZero<T1>]
2.4 自然数的除法
除法和乘法一样，是减法的重复，不过要注意除数不能是0，结果是向下取整的自然数。
type Div<T1 extends Num, T2 extends Num, Acc extends Num = n0> = {
'error': never,
'true': Acc,
'false': Div<Sub<T1, T2>, T2, Next<Acc>>
}[IsZero<T2> extends 'true' ? 'error' : IsGreaterThen<T2, T1> extends 'true' ? 'true' : 'false']
3.实现自然数的四则混合运算
这个部分内容稍微有点复杂，首先来看看实现四则混合运算的算法，
3.1 四则混合运算的算法
算法分为两个过程：1.是把中缀表达式转换成后缀表达式，2.对后缀表达式进行运算。
- 中缀式转化成后缀式的具体流程如下：
操作数栈里面的数据就是最终结果。
- 后缀式的计算就比较简单了
3.2 用typescript的类型系统实现算法
基本思路：
- 把算法分解成一系列的子过程：把程序所要用到的变量全部列举出来，记为Q1, Q2, ..., Qn, 此外再加一个状态RunState（运行时状态），在这里，我们用映射类型和RunState来处理程序跳转。
程序的本质是操作数据，因为typescript的类型系统不能改变变量的值，它只能接受原来的变量，然后输出新的变量值，在每个子过程里，我们用一个函数F来代表具体的计算过程，它接受原来的Q，输出新的Q，同时改变RunState的值，以便让程序跳转。
- 实现条件判断
- 循环：所有的循环会被转化成递归实现
至此，根据上面的思路，我们可以把所有的算法用typescript的类型系统实现一遍。
4. typescript的类型系统是纯正的函数式编程语言
准确来讲，是函数式编程语言的子集
1. 无法改变变量的值
类型确定下来了，就无法再改变了，只能创造新的类型
2. 没有循环，只有递归
原因：一是不能改变变量的值，二是循环的表达能力不如递归。
