初中数学题求解

Thoughtfulvaliant

2020-07-27 325 阅读3分钟

唠唠家常🧐

一直发 WebGL 相关的文章，朋友们是不是也看腻了？今天换个口味！来看看最纯粹的东西：数学！

最近逛“步行街”（老JR了）的时候，发现有“家人”发了个帖子，如图：

抱着好奇心我就点了进去，就看到了下图中的问题：

翻译成数学语言就是：设 $a, b$ 是正整数，满足 ab + 1 可以整除 $a^2 + b^2$ 。证明 $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ 结果是某个整数的平方。

看着题目挺短，感觉挺简单的，在纸上写写画画，一直没证明出结论。随后就觉得没那么简单...就能找到个聊得来的伴（你为什么能发语音）？

往下翻了翻评论，发现果然应了那句话 —— “新闻越短，事儿越大”！这竟然是 1988年 IMO 的最后一道题！！！（IMO: International Mathematical Olympiad，即：国际数学奥林匹克竞赛）

兄弟，闹呢？这“初中数学题”？知道“步行街”的街薪高，街商也这么高？瞬间泪目。

本憨憨自然没有解出答案，但是我们有万能的 Google 啊！1988年所有原题下载链接及第六题解题链接已放在文章末尾，感兴趣的可直接跳到末尾。

当然接下来我会整理并讲解解题思路，看不懂原解题链接内容的朋友看本文的介绍。

借东风💨

韦达定理 还记得吗？

“韦达不认识，维达我倒是经常用！”

数学老师正在赶来的路上...

韦达定理 这熟悉而又陌生的名字，当我亮出下面公式的时候，你一定会说“艹，是这个啊”!

\begin{align}
\begin{split}
对于一元二次多项式：ax^2 + bx + c &= 0 \\
两个根x_1, x_2有下列关系：\\
x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a}
\end{split}
\end{align}

好了，懂了这个就可以解这道题了，就这么“简单”！

万事俱备🤙

选择整数 $a, b, k$ ，使得 $a^2 + b^2 = k (ab + 1)$ ；
然后，对于固定的 $k$ , 在所有的 $(a, b)$ 中选择最小的 $(a, b)$ ；
令 $b'=min(a, b), a'=max(a, b)$ ；
因此， $a'^2-kb'a'+b'^2-k=0$ 是 $a'$ 的二次方程；
假设此二次方程有另一个根 $c'$ ，则这个根应该满足： $b'c' \leq a'c' = b'^2-k < b'^2 \implies c' < b'$ ；
因此， $c'$ 不是一个正整数（如果是的话，就会与最小化条件相矛盾）；
但是 $c'=kb'-a'$ ；
所以 $c'$ 是一个整数；
因此 $c' \leq 0$ ；
同时 $(a'+1)(c'+1)=a'c'+a'+c'+1=b'^2-k+b'k+1=b'^2+(b'-1)k+1 \geq 1$ ；
所以 $c'>-1$ ；
所以 $c' = 0$ ；
因此 $b'^2 = k$ ，即证明 $k$ 某个整数的平方🎉

我猜测有些小伙伴应该是从 第5步 开始迷茫的，下面我来解释一下😎

首先我们从题干可以抽取这两条信息： $a'$ 和 $b'$ 都大于等于 1，并且 $k$ 是正整数。那么在我们把 $a'^2-kb'a'+b'^2-k=0$ 当作是 $a'$ 的二次方程条件下，那么 $c'$ 和 $b'$ 就是该方程的两个根，因为 $a' \geq b'$ ，所以 $b'c' \leq a'c'$ ；同时通过 韦达定理 可得： $a'c' = b'^2 - k$ ，所以 $a'c' < b'^2$ ；因为 $a' \geq b'$ ，所以只有当 $c' < b'$ 时不等式 $a'c' < b'^2$ 才成立。

在 第10步 中，对 $a'c'$ 和 $a' + c'$ 使用 韦达定理 即可。

完事儿了🤓

虽然是奥赛题目，但是解题过程及其简洁，当说出这道题是奥赛题的时候，我们的第一印象可能是：这道题肯定很难、肯定会用到很多没有听过的定理、解题过程肯定会十分复杂难懂。

人就是这样，容易把事情复杂化，自己持有的观点容易受到外界因素的加持。坚持做自己，坚持自己所爱的，勇敢快乐的生活下去！

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原题及解题链接📄

原题链接：1988 IMO 所有原题链接

解题链接：1988 IMO 第6题解题链接