Leetcode每日刷题(九)描述：爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。最初，黑板上有一个数字。

题目：除数博弈

描述： 爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 $N$ 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 $x$ ，满足 $0 < x < N$ 且 $N % x == 0$ 。
用 $N - x$ 替换黑板上的数字 $N$ 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 $True$ ，否则返回 $false$ 。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例:

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

解法一：递推

思路： 当先手处于 $N = k$ 状态时, 当做出任意操作，必定使得后手处于 $N = m(m < k)$ 状态, 所以需要找到是否存在一个 $m$ 是必败的状态，就直接执行使得当前数字变为 $m$ ;否则，无论怎样操作，接下来出现的数字都会是先手必胜的，即后手必胜。

可以定义 $f[i]$ 表示 $N = i$ 时，先手处于必胜状态 $(true)$ 或必败状态 $(false)$ ，枚举 $i$ 在 $(0,i)$ 中的因数 $j$ 看是否存在 $f[i-j]$ 为先手必败状态即可

class Solution {
    public boolean divisorGame(int N) {
        boolean[] f = new boolean[N + 5];

        f[1] = false;
        f[2] = true;
        for (int i = 3; i <= N; ++i) {
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                if ((i % j) == 0 && !f[i - j]) {
                    f[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }

        return f[N];
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度 $O(N^2)$ 。
空间复杂度 $O(N)$ 。

解法二：找规律

思路：

如果 $N$ 为奇数, 约数必为奇数，所以下个数必为偶数。
如果 $N$ 为偶数，先手只需一直选1，可使得后手一直为奇数，即先手下次还为偶数，直到先手碰到 $N = 2$ 的情况，即必胜

综上所述： $N$ 为奇数, 先手必输; $N$ 为偶数, 先手必胜。

class Solution {
    public boolean divisorGame(int N) {
        return N % 2 == 0;
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度 $O(1)$ 。
空间复杂度 $O(1)$ 。