大家好，这里是「力扣」视频题解。今天要和大家分享的是「剑指 Offer」第 51 题：数组中的逆序数。
这道题要求我们计算一个数组中「逆序对」的个数。
什么是「逆序对」呢？
从一个数组里抽出的两个数字，如果前面的数值严格大于后面的数值，就称为「构成一个逆序对」。
我们从示例数组里抽出两个不同下标的数字， 5 和 4，5 排在 4 的前面，5 大于 4 ，因此它们构成了一个逆序对。
「逆序对」的个数反映了一个数组的有序程度，这里有两个很特殊的例子，它们分别是「顺序数组」和「逆序数组」：
1、对于「顺序数组」来说，任意抽出的两个数字都不存在逆序关系。
例子：[1, 2, 3, 4, 5]
2、而对于「倒序排列的数组」来说，任意的抽出的两个数都构成了逆序关系。
例子：[5, 4, 3, 2, 1]
（这里隐含了优化算法的思想：）这个数组的逆序的个数就是 5 后面所有元素的个数（= 4） + 4 后面所有元素的个数（= 3） + 3 后面所有元素的个数（= 2） + 2 后面所有元素的个数（= 1） = 10。
一个非常容易想到的方法是，使用一个双重循环，枚举所有的两个不同下标的元素，只要发现一个逆序关系，就给计数器加 1。
这个算法我们称之为暴力解法或者是依据定义的解法，这个算法的时间复杂度是 。空间复杂度是
。
这个算法的缺点是显而易见的，我们在每一次的比较过程中，没有记住一些信息。
而优化的解法是基于以下两个事实：
1、暴力解法的缺点：在比较的过程中没有记录下元素的大小关系，不管是构成顺序对还是逆序对，都没有有被记录下来，也就是：之前比较的结果不能为以后的比较提供有用的信息；
2、其实隐含在我们刚刚介绍完全逆序的数组的例子里，正是因为我们知道了这个数组里的元素关系，我们就可以一下子计算出与 5 构成逆序的元素个数，与 4 构成构成逆序的元素个数而不用一个一个地去比较。
这两点事实告诉我们，在计算逆序的过程中，掌握元素的大小关系是加快计算的思路。而掌握元素的大小关系其实就是在计算逆序的过程中，对已经看到的数字进行一次排序。
而在高级排序算法（归并排序、快速排序）里，能够看到非常明显的阶段排序结果的算法就是归并排序。
有兴趣的朋友不妨在这里暂停视频，想一想如何利用归并排序给数组排序的过程，计算出逆序对的个数。
使用归并排序计算逆序数，关键在于「合并两个有序数组」的过程，我们在归并的过程中，每一次考察两个紧挨着的有序子区间，考虑将它们合并成为一个更长的有序子区间。
（要合并两个紧挨着的有序子区间，我们先把这两部分的元素拷贝到一个新的区间，然后再通过比较逐个赋值回去）
比如在这个例子里，
[2, 3, 5, 7, 1, 4, 6, 8]
我们是先看 2 和 1 的大小，1 比 2 小，1 就应该先归并回去，由于两个子区间都是有序的，我们就知道了，1 比它之前的所有元素都小，也就是 1 与它之前的所有元素都构成了逆序对，我们就可以一下子给计数器加上 4；
1 出列以后，考察 2 和 4。
2 比 4 小，我们将 2 归并回去，在 2 归并回去的同时，我们可以观察到 2 点：第 1 ： 2 与之前的 1 构成了逆序对，不过我们刚刚在 1 归并回去的时候已经计算进去了；第 2 ：2 与 1 之后的所有元素不构成逆序对，因此在 2 归并回去这一步我们什么都不用做；
接下来比较 3 和 4 的大小，3 比 4 小，3 归并回去，依然是什么都不做；
接下来比较 5 和 4 的大小，4 比 5 小，4 归并回去，与此同时我们就知道了，4 与第 1 个数组里还没有归并回去的所有元素 5 和 7 构成了逆序对，把 4 归并回去以后，我们就可以给计数器加上 2
（就按照这样的顺序，其实我们只需要在第 2 个有序数组归并回去的过程中，计算归并回去的那个元素与第 1 个有序数组的构成逆序的个数，也就是，依次给计数器加上相应的第 1 个有序数组还没有归并回去的元素的个数）。
接下来比较 5 和 6 的大小，5 比 6 小，5 归并回去，依然是什么都不做；
接下来比较 7 和 6 的大小，6 比 7 小，这个时候第 1 个有序数组里只有 1 个 7，我们把 6 归并回去以后，给计数器加 1。
接下来比较 7 和 8 的大小，7 归并回去，什么都不做，最后我们把 8 归并回去，由于第 1 个有序数组都归并完了，也就是 8 在这个区间里不与任何元素构成逆序关系，我们可以认为是计数器加 0。
这样我们就完成了一个区间里，逆序对的计算。依然要和大家强调的前提是：可以这样计算逆序对个数的前提，两个子区间分别有序。
而使得两个子区间有序，是基于上一轮计算逆序对的结果，正是由于我们在计算逆序数的同时，给数组排了序，这样结果就可以应用在下一轮计算逆序对的过程中，直至整个数组有序，我们就计算出了整个数组逆序对的个数。
这个过程可以用下面这张图来表示：
我们对有序数组的拆分，直到区间里只剩下一个元素的时候。1 个元素的数组，肯定是有序数组。然后我们再依次归并两个有序数组，直到整个数组有序。
这样的过程我们通过编写递归函数实现，这是因为我们在计算的逆序数的过程中符合：先拆分的问题后计算，后拆分得到的问题先计算的规律。
我们借助了递归函数的方法栈，在上一个方法出栈以后，归并两个有序数组，就这样一直执行下去。完成了逆序数的计算。
下面我们来看一下代码：
Java 代码：
（看算导总结分治）
而优化的解法的思路是：在比较的过程中，记录下元素的大小关系，而记录元素的大小关系的过程中，就是给数组
（下面这段话说明逆序对的定义）
最后一个元素，它没有后面的元素。
方法一：暴力解法（依据定义）
我们可以根据逆序对的定义，得到第 1 个非常朴素的解法：暴力解法。
我们直接来看代码。
Java 代码：
public class Solution {
public int reversePairs(int[] nums) {
int len = nums.length;
int res = 0;
for (int i = 0; i < len - 1; i++) {
for (int j = i + 1; j < len; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
res++;
}
}
}
return res;
}
}
这个代码的时间复杂度是 ，直接提交给「力扣」测评是不能得到通过的。
空间复杂度是 。
优化的思路：
暴力解法的缺点其实是显而易见的。我们在使用定义求解逆序数的过程，没有使用到已经比较的结果。
1、优化的解法来自于一个经典的算法问题「合并两个有序数组」。我们简单和大家回忆一下。 2、和合并的过程中，边合并，边计算逆序数，由于合并的过程中，使得数组有序，在更大规模的合并过程中，就可以减少一些比较的次数，从而降低时间复杂度；
3、而合并两个有序数组的过程，是一直出现在「归并排序」这个过程中的。
在合并的过程中，计算逆序数是方便的。
- 暴力解法的缺点：每一次在比较两个数值的大小关系是，都没有利用到之前比较的结果，例如
[4, 5, 1, 2, 3]，4和5都在[1, 2, 3]的前面，我们在得出4与1、2、3分别构成了个逆序对。由于
5比4还大，5也在[1, 2, 3]的前面，那么它也一定与1、2、3构成逆序对； - 因此我们希望优化的解法能够记住一些信息，并且记住的信息能够体现元素之间的大小关系；
- 我们再看一下刚刚给出的这个例子，这个数组是分段有序的，前一段是有序的，后一段也是有序的，在计算逆序数的时候，能够带来一些方便。
- 为此，一个可行的思路是：我们一边排序，一边计算逆序数。这个思路看起来比较神奇，但是这个想法的来源还是来自于逆序数的定义：
- 顺序数组的逆序对为 0，我们在对一个数组排序的过程，就相当于记住了一些信息；
这里很特别的一点是：
已经计算了逆序的区间，我们就让它有序，这样下一轮再计算逆序的时候，就不会重复。
在排序算法里，有一种算法，在排序的过程中是能体现出区间分段有序性的，那就是「归并排序」。说道这里，感兴趣的朋友不妨暂停一下视频，想一想如何在归并的过程中，一边排序，一边记录下逆序对的个数。对归并排序还不熟悉的朋友，也可以顺便复习一下归并排序。
下面我们就具体来看一下这个思路最关键的一个过程，那就是合并两个有序数组：
[2, 3, 5, 7, 1, 4, 6, 8]
我们把这个数组逻辑上分成两个区间，分界线就在 7 和 1 的中间。
一开始我们看 2 和 1 ，由于 1 比 2 小，1 应该先出列，1 与它前面的 4 个元素分别构成逆序对，因此计数器一下子可以加上 4；
1 出列以后，指向 1 的指针向后移动一位来到 4 这个位置；
由于 2 比 4 小，这一次我们将 2 出列，与 2 构成逆序的只有 1 ，1 出列的时候这个逆序关系我们已经计算过了，因此将 2 出列以后，我们什么都不做，然后将原来指向 2 的指针向后移动一位；
现在两个指针指向的是 3 和 4，3 比 4 小， 3 出列，同样是，与 3 构成逆序的 1 在 1 出列的时候就已经计算过了，因此计数器不需要增加。 原来指向 3 的指针指向 5。
这个时候 4 比 5 小，4 出列，4 的前面比 4 还大的元素就是第 1 个数组里还没有出列的元素的个数，我们看到有 5 和 7 两个元素，此时计数器 + 2，然后 指针向右移动一位。
接下来比较 5 和 6 ，5 比 6 小，5 出列，5 的后面比 5 小的元素 1、4 构成的逆序个数在它们出列的时候已经被计算过了。同样的，什么都不做，5 的指针向后移动 1 位。
接下来比较 7 和 6，6 的前面比 6 大的元素依然是第 1 个数组里还没有出列的元素的个数，我们把 6 放在合适的位置以后，计数器 + 2，指针向后移动一位。
现在比较 7 和 8 ，7 出列，什么都不做，第 1 个数组里的元素我们都看完了，然后 8 出列，第 2 个数组里的元素我们也都看完了。
完成了两个有序数组的合并以后，数组有序，原来它们构成的逆序的对数我们也已经计算完了。
在这里要和大家强调的一点是：
这道题其实是从「归并排序」引申出来的问题。
