第二章
基本概念
(零空间)核空间KerA
对于给定的A，在映射的作用下，满足Ax = o的集合称为A的核（kernel）。对于“非压缩扁平化”的映射A，KerA是0维的，由原点O一个点构成
像ImA
对于给的的A，将x进行各种不同的变换，在A的作用下，y=Ax构成的集合，称为A的像（image）
单射、满射、双射
这里要引入一个问题：
对于方程y = Ax
- 对于相同的结果y，引起它的原因唯一吗x？
- 无论什么样的结果y，都可以找到导致它的相应原因x吗？
满足条件1的映射就叫单射；满足条件2的映射叫满射；条件1、2都满足的叫双射（也叫一一映射）
长矩阵、矮矩阵、方阵（奇异矩阵、非奇异矩阵）
对于y=Ax,A的规模为m x n：
- 当m > n 时， A称为长矩阵；
- 当m < n 时，A称为矮矩阵；
- 当m = n，即x,y同维时，称为方阵；
- 如果方阵不存在可逆阵，称A为奇异矩阵，否则称之为非奇异矩阵。
定义与定理
初等变换
对（A|y）的矩阵进行如下操作：
- 某行乘c
- 某行的c倍加到另一行上
- 交换两行
以上过程都可以左乘单位阵表示，这些操作称为初等（行）变换
维数定理
对于m x n的矩阵A，有：
dim KerA + dim ImgA = n
直观上理解：A是从n维空间到m维空间的映射，从原来的n维中，压缩掉KerA对应的维数，剩下的就是的ImA维数。
线性子空间
对于线性空间V，若V内的区域W满足以下条件，则称W是V的线性子空间
- 对于W中的向量x和x'，他们的和x+x'也在内
- 对于W中的向量x和c，数量积cx也在W内
秩
秩的提出是为了解决“目标空间全体是否能够被全部覆盖到”，具体问题就是：ImA是否覆盖了空间全体，这个问题涉及的就是ImA的维数，也就是秩rank。 即：
dim ImA = rank A
线性方程组求解
第四章
特征值与特征向量
定义
Ap = tp,其中 p o，A是方阵(A的列数=p的行数=A的行数)
从几何角度分析，特征向量就是在空间在线性变换后仍没有偏离原来方向的向量。长度可能会有伸缩。长度变化的倍率就是特征值。例如当空间发生旋转，可以不用分析线性变换矩阵，只要找到矩阵对应的特征向量就可以了，空间肯定是围绕特征向量旋转的。
性质
- 对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵的对角元素就是特征值
- 实矩阵的特征值和特征向量也可能是复数
- n阶方阵的特征值，在包含重根的情况下有n个
- A有特征值0，等价于A是奇异矩阵（压缩扁平化）；没有特征值0，等价于A非奇异
- 行列式等于特征值的乘积
- 不相同的特征对应的特征向量线性无关；特征值相同（重根）特征向量也可能线性无关；
- 方阵A的特征多项式的常数项a0=detA
- A的迹等于对角元素的和。 9
应用
判断系统是否失控
如果特征值的绝对值均小于等于1，则没有失控的风险；否则有可能会失控。
对角化
选择合适的可逆矩阵p，使得p-1Ap是对角矩阵,这个操作就称之为对角化。
为何要对角化
方法
- 求A的特征值λ1，... λn及其对应的特征向量p1，...pn
- 把特征向量排列起来就是P，P = (p1，...pn)
Jordan标准型
对于不能对角化的方阵A，可以通过变换得到与对角矩阵很接近的形式——Jordan标准型（分块对角矩阵），形式如下：
性质
- 对角元素就是特征值
- 对角上有几个相同的特征值，对应的就是几重根
- 对角元素是的Jordan块有几个，对应的线性无关的特征向量就有几个
- 若特征值不存在重根，则矩阵可对角化（此时Jordan型就是对角矩阵了）
