如果问我什么是线性代数？
我想到的就是各种行列式的计算、各种求解方程组，还有什么对角化之类印象中很难的转变。总之，就是一个个的数字。
如果再问我什么时候用到线性代数了？
我只能回答你，考试的时候。因为我真的不知道线性代数和工作、学习有什么关系。
但是！当看完这个系列的视频后，我一阵头皮发麻。
原来向量、矩阵、行列式、特征值等等，是这样理解的！
原来他们不是一个个的数值！
原来这门学科的应用这么广泛！
原来线性代数是这个样子的！
很多的学习笔记我没有一一列出来，下面是我再观看过程中遇到反复学习并理解的内容。我把它记录下来方便以后回顾。
矩阵与线性变换
现在有一个矩阵A
在没有看过这个系列的视频之前，如果问我矩阵A是什么？我会一脸懵逼的回到：“是2排数字？难道不是？”
从几何角度来说，矩阵是一种线性变换。这里把矩阵的每一列作为基向量变换后的位置来理解。[4,0]就是基向量[1,0]变换后的位置，[3,2]就是基向量[0,1]变换后的位置。这里的变换是空间的旋转、剪切、压缩。
现在，当我看到一个矩阵时，我脑海里已经不是一排数字了，取而代之的是变换后的空间。
另一个问题：什么是线性变换？
线性的性质(也适用于函数)
- 可加性
意思是：把两个向量相加，然后对他们的和做应用变换，得到的结果变换后的变量相加一致。
- 成比例
意思是：将一个向量乘某一个数然后应用变换，得到的结果和变换后的结果乘以这个数一致
满足以上2个性质的变换就称之为线性的。
对偶性
说道这个性质，还要从矩阵的乘法运算说起。
我在学习求解线性方程组时，理解并记忆如下方块图：
图1：y = Ax
图2：c = yTx
其中y和x都是列向量
简单的记忆就是：矩阵与列向量的乘积是一个列向量；行向量与列向量的乘积是一个数。
在记忆后一条结论时，我思考：一定要行向量和列向量的乘积是数吗？列向量和列向量的乘积是什么呢？
首先，矩阵的乘法有规模要求，需要Amxn X Bnxm，意思是A的列要与B的行数相同，否则不能做乘法。如果套用这个规则，列向量和列向量是不能做乘法的。
那么，应用向量的点乘法则呢？显然可以的，并且数值相当于把第一个向量转置成行向量，然后和第二个列向量做乘法。这不是又回到矩阵的乘法了吗？
这是偶然还是另有隐情？向量的点乘和一维矩阵的乘法到底有什么关系呢？
带着这个问题我反复观看视频第7-8节的内容，梳理了如下关于对偶性的理解。
定义
对偶性，粗略地说，是指两种数学事物之间自然而又出乎意料的对应关系。
上述问题就是对偶性的实例。它描述的就是向量的点积的对偶性。它可以描述为：
一个多维（空间）到一维（数轴）的线性变换时，它都与空间中的唯一一个向量v对应，即应用这个变换和向量v点乘等价。这里的向v量就称为此线性变换的对偶向量。
点积和差积的对偶性
- 假设 v = [v1,v2]T， w=[w1,w2]T， A=[v1,v2]
并有 p =
从对偶性来理解，p就是w通过线性变换A,投影到v所在的数轴上的长度乘以v本身的长度。A的对偶向量就是v
- 假设 v = [v1,v2,v3]T， w=[w1,w2,w3]T，p=[p1,p2,p3]T，u=[x,y,z]T
并有
, 线性变换
根据点积的投影意义、差积的面积意义可以得出：
= det(A) (A的行列式)。
即：A的对偶向量就是p。
