快速排序算法的证明与边界分析

clearlife
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算法证明

算法证明使用算法导论里的循环不变式方法

快排模板(以j为分界)

快排属于分治算法，分治算法都有三步：

  1. 分成子问题
  2. 递归处理子问题
  3. 子问题合并
void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    //递归的终止情况
    if(l >= r) return;
    //第一步：分成子问题
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while(i < j)
    {
        do i++; while(q[i] < x);
        do j--; while(q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    //第二步：递归处理子问题
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
    //第三步：子问题合并.快排这一步不需要操作，但归并排序的核心在这一步骤
}

待证问题

while循环结束后，q[l..j] <= x,q[j+1..r] >= x

注:q[l..j] <= x意为q[l],q[l+1]...q[j-1],q[j]的所有元素都<= x

证明

循环不变式：q[l..i] <= x q[j..r] >= x

  1. 初始化

循环开始之前i = l - 1, j = r + 1

则q[l..i],q[j..r]为空，循环不变式显然成立

  1. 保持

假设某轮循环开始前循环不变式成立，即q[l..i] <= x, q[j..r] >= x

执行循环体

  do i++; while(q[i] < x);
  会使得 q[l..i-1] <= x, q[i] >= x
  
  do j--; while(q[j] > x);
  会使得 q[j+1..r] >= x, q[j] <= x
  
  if(i < j) swap(q[i], q[j]);
  会使得 q[l..i] <= x, q[j..r] >= x

所以，i和j更新之后，下一次循环开始之前，循环不变式依然成立

注意:由于使用do-while循环,所以i和j一定会!!!自增!!!,使得循环会继续下去,但是如果采用while循环(i和j的初始化做出对应的变更),i和j在特殊情况下不自增的话,循环就会卡死

例如:

  while(q[i] < x) i++;
  while(q[j] > x) j--;
当q[i]和q[j]都为 x 时, i 和 j 都不会更新,导致 while 陷入死循环

3. 终止

循环结束时，`i >= j`

正常情况下，按照循环不变式，我们应该会觉得结果已经显然了

因为`i >= j，q[l..i] <= x, q[j..r] >= x`

所以按照`j`来划分的话，`q[l..j] <= x, q[j+1..r] >= x`是显然的

可是，最后一轮循环有点特殊，因为**最后一轮循环的if语句一定不会执行**

因为最后一轮循环一定满足 i >= j,不然不会跳出while循环的，所以if语句一定不执行

**正确分析**：

由于最后一轮的if语句一定不执行

所以，只能保证`i >= j`和`q[l..i-1] <= x, q[i] >= x`和`q[j+1..r] >= x, q[j] <= x`

由`q[l..i-1] <= x，i >= j(i-1 >= j-1)` 和 `q[j] <= x` 可以得到 `q[l..j] <= x`

又因为`q[j+1..r] >= x`
所以，`q[l..j] <= x,q[j+1..r] >= x`,**问题得证**

**总结**:只有最后一轮循环结束时，循环不变式不成立，其余的循环都是成立的
但最终要求的问题还是解决了

**注意**:循环结束时要记得检查是否存在数组越界/无限递归的情况

所以还需要证明 `j` 最终的取值范围是`[l..r-1]`(即不存在`n`划分成`0`和`n`的无限递归情况),分析过程在分析`5`

边界情况分析

分析

快排属于分治算法，最怕的就是 n分成0和n，或 n分成n和0,这会造成无限划分

  1. 以j为划分时，x不能选q[r] (若以i为划分,则x不能选q[l])

假设 x = q[r]

关键句子quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);

由于j的最小值是l,所以q[j+1..r]不会造成无限划分

但q[l..j](即quick_sort(q, l, j))却可能造成无限划分，因为j可能为r

举例来说，若x选为q[r]，数组中q[l..r-1] < x,

那么这一轮循环结束时i = r, j = r，显然会造成无限划分

  1. do i++; while(q[i] < x)和do j--; while(q[j] > x)不能用q[i] <= x 和 q[j] >= x

    假设q[l..r]全相等

    则执行完do i++; while(q[i] <= x);之后，i会自增到r+1

    然后继续执行q[i] <= x 判断条件，造成数组下标越界(但这貌似不会报错)

    并且如果之后的q[i] <= x (此时i > r) 条件也不幸成立，

    就会造成一直循环下去(亲身实验)，造成内存超限(Memory Limit Exceeded)

  2. if(i < j) swap(q[i], q[j])能否使用 i <= j

    可以使用if(i <= j) swap(q[i], q[j]);

    因为 i = j 时，交换一下q[i],q[j] 无影响，因为马上就会跳出循环了

  3. 最后一句能否改用quick_sort(q, l, j-1), quick_sort(q, j, r)作为划分(用i做划分时也是同样的道理,)

    不能

    根据之前的证明，最后一轮循环可以得到这些结论

    j <= i 和 q[l..i-1] <= x, q[i] >= x 和 q[j+1..r] >= x, q[j] <= x

    所以，q[l..j-1] <= x 是显然成立的，

    但quick_sort(q, j, r)中的q[j] 却是 q[j] <= x，这不符合快排的要求

    另外一点，注意quick_sort(q, l, j-1), quick_sort(q, j, r)可能会造成无线划分

    当x选为q[l]时会造成无限划分，报错为(MLE),

    如果手动改为 x = q[r],可以避免无限划分

    但是上面所说的q[j] <= x 的问题依然不能解决，这会造成 WA (Wrong Answer)

  4. j的取值范围为[l..r-1]

证明:

假设 j 最终的值为 r ,说明只有一轮循环(两轮的话 j 至少会自减两次)

说明q[r] <= x (因为要跳出do-while循环)

说明 i >= r (while循环的结束条件), i 为 r 或 r + 1(必不可能成立)

说明 i 自增到了 r , 说明 q[r] >= x 和 q[l..r-1] < x,

得出 q[r] = x 和 q[l..r-1] < x 的结论,但这与 x = q[l + r >> 1]矛盾

反证法得出 j < r

假设 j 可能小于 l 说明 q[l..r] > x ,矛盾

反证法得出 j >= l

所以 j的取值范围为[l..r-1],不会造成无限划分和数组越界

  1. while循环的结束条件能不能改成 i <= j

顺带一提用i做划分时的模板

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;

    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r + 1 >> 1];//注意是向上取整,因为向下取整可能使得x取到q[l]
    while(i < j)
    {
        do i++; while(q[i] < x);
        do j--; while(q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, i - 1), quick_sort(q, i, r);//不用q[l..i],q[i+1..r]划分的道理和分析4中j的情况一样
}
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