DailyChallenge

96. 不同的二叉搜索树

20200715

难度：中等

题目描述

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

链接：<https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-tree

Solution

方法一：动态规划

思路：

给定一个有序序列 $1 \cdots n$ ，为了构建出一棵二叉搜索树，我们可以遍历每个数字 $i$ ，将该数字作为树根，将 $1 \cdots (i-1)$ 序列作为左子树，将 $(i 1) \cdots n$ 序列作为右子树。接着我们可以按照同样的方式递归构建左子树和右子树。

在上述构建的过程中，由于根的值不同，因此我们能保证每棵二叉搜索树是唯一的。

由此可见，原问题可以分解成规模较小的两个子问题，且子问题的解可以复用。因此，我们可以想到使用动态规划来求解本题。

算法

题目要求是计算不同二叉搜索树的个数。为此，我们可以定义两个函数：

$G(n)$ : 长度为 n 的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。

$F(i,n)$ : 以 i 为根、序列长度为 n 的不同二叉搜索树个数 $(1 \leq i \leq n)$ 。

可见， $G(n)$ 是我们求解需要的函数。

稍后我们将看到， $G(n)$ 可以从 $F(i,n)$ 得到，而 $F(i, n)$ 又会递归地依赖于 $G(n)$ 。

首先，根据上一节中的思路，不同的二叉搜索树的总数 $G(n)$ ，是对遍历所有 $i (1 \le i \le n)$ 的 $F(i, n)$ 之和。换言之：

对于边界情况，当序列长度为 11（只有根）或为 00（空树）时，只有一种情况，即：

不同二叉搜索树的个数为 $F(3, 7)$ 。我们将 $[1,2]$ 构建不同左子树的数量表示为 $G(2)$ , 从 $[4,5,6,7]$ 构建不同右子树的数量表示为 $G(4)$ ，注意到 $G(n)$ 和序列的内容无关，只和序列的长度有关。于是， $F(3,7) = G(2) \cdot G(4)$ 。因此，我们可以得到以下公式：

可得：

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i; j++){
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

方法二：数学

事实上我们在方法一中推导出的 G(n)函数的值在数学上被称为卡塔兰数 $C_n$ 。卡塔兰数更便于计算的定义如下:

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        // 提示：我们在这里需要用 long 类型防止计算过程中的溢出
        long dp = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            dp = dp * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int) dp;
    }
}

链接：leetcode-cn.com/problems/un…

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LeetCode每日一题--96. 不同的二叉搜索树(Java)

DailyChallenge

96. 不同的二叉搜索树

题目描述

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