Leetcode 每日刷题(二)描述：给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

题目：三角形最小路径和

描述：给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

解法来源：leetcode-cn.com/problems/tr…

题目分析：

若定义为 $f(i,j)$ 为 $(i, j)$ 点到底边的最小路径和，则易知递归求解式为:

f(i,j)=min(f(i+1,j),f(i+1,j+1)) + triangle[i][j]

由此，我们将任一点到底边的最小路径和，转化成了与该点相邻两点到底边的最小路径和中的较小值，再加上该点本身的值。这样本题的递归解法（解法一）就完成了。

具体实现

解法一：递归

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        return  dfs(triangle, 0, 0);
    }

    private int dfs(List<List<Integer>> triangle, int i, int j) {
        if (i == triangle.size()) {
            return 0;
        }
        return Math.min(dfs(triangle, i + 1, j), dfs(triangle, i + 1, j + 1)) + triangle.get(i).get(j);
    }
}

解法二：递归 + 记忆化

在解法一的基础上，定义了二维数组进行记忆化。

class Solution {
    Integer[][] memo;
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        memo = new Integer[triangle.size()][triangle.size()];
        return  dfs(triangle, 0, 0);
    }

    private int dfs(List<List<Integer>> triangle, int i, int j) {
        if (i == triangle.size()) {
            return 0;
        }
        if (memo[i][j] != null) {
            return memo[i][j];
        }
        return memo[i][j] = Math.min(dfs(triangle, i + 1, j), dfs(triangle, i + 1, j + 1)) + triangle.get(i).get(j);
    }
}

时间复杂度： $O(N^2)$ N 为三角形的行数。
空间复杂度： $O(N^2)$ N 为三角形的行数。

解法三：动态规划

定义二维 dp 数组，将解法二中「自顶向下的递归」改为「自底向上的递推」。

状态定义： $dp[i][j]$ 表示从点 $(i, j)$ 到底边的最小路径和。
状态转移：

dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j]

代码实现：

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        // dp[i][j] 表示从点 (i, j) 到底边的最小路径和。
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        // 从三角形的最后一行开始递推。
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

时间复杂度： $O(N^2)$ N 为三角形的行数。
空间复杂度： $O(N^2)$ N 为三角形的行数。

空间优化在上述代码中，我们定义了一个 $N$ 行 $N$ 列的 $dp$ 数组（ $N$ 是三角形的行数）。但是在实际递推中我们发现，计算 $dp[i][j]$ 时，只用到了下一行的 $dp[i + 1][j]$ 和 $dp[i + 1][j + 1]$ 因此 $dp$ 数组不需要定义 $N$ 行，只要定义 $1$ 行就阔以啦。所以我们稍微修改一下上述代码，将 $i$ 所在的维度去掉（如下），就可以将 $O(N^2)$ 的空间复杂度优化成 $O(N)$

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0];
    }
}

时间复杂度： $O(N^2)$ N 为三角形的行数。
空间复杂度： $O(N)$ N 为三角形的行数。