微积分-MIT
第一讲
- 微积分是研究两个函数之间的关系
两组例子
第一组：函数一:distance(距离） 函数2:speed 速率
函数一可以理解为车里程表的读数，函数二是与距离有关的速度，它描述是运动的快慢，时速的快慢。
速率是瞬间的量，比如时速60公里，从数学速率的角度来理解是指，从加速时间到当前时间，这个速率是可以达到60公里每小时。而不是指这一小时开了60公里，速率是随时间和运动变化中的速度，而不是单位时间点里的结果量（距离）
第二组 函数一：height（高度） 函数2:slope(斜率）
函数y（x)
变化中的速率 s = d(y)/d(x)
y是高度，x是时间，高度/时间
函数一理解为高度，第二函数是斜率，表示每一个时间点的变化程度。用爬山来理解的，高度用以表示我们爬了多少。斜率表示在每一点我们能爬多快
https://www.bilibili.com/video/av58739417?p=2
P2 34分
假设我们的速度是随时间不变加快的，速率应该是一条斜线，高度表时
什么是微分
有两个函数，函数一:distance(距离） 函数2:speed 速率
f(t)= s * t = distance
f(s) =
距离= 时间 * 速度
那么我们从瞬时的速度来看待这两个函数的关系，假设速度不是均速的。。
当我们的车越来越快，距离和时间同比率向上增长，在图上表示
当速度慢下来，速度从高点降至0或负。
有两个函数，一个是距离和时间函数f(t)，一个速度函数是s(t)，当知道距离求速度这叫微分函数。
反过来，知道速度求距离叫积分。
求一个时间点里的速度这就叫微分。也是求瞬时变化的量。
微分公式 s = DF/DT ，距离=变化时距离/变化的时间
什么是积分
P2 :www.bilibili.com/video/av587…
视频35分左右： 两个函数，函数一是f(t)距离函数，函数2是速度函数s=at,s(t)
速度是恒定的，因此，随横轴t的增长，s纵轴的速度也增长，斜率也越来越高，那么细分来看就是每个小时间都有自已的速度， 距离是总和，因此整个三角形面积就是距离。 area = function(1)= 2/1t(at)
由速度函数2,反推出速度一f(t)距离函数，这就是积分。
还是以距离和斜率的函数为例子
斜率函数是速度函数，假设速度随时间和累加加快。
所有斜率内的垂直加累加就是单位时间内的距离，这就是积分
解释说明：假设你开车达到80km/t.那么速度从0-80km就是一条斜线均速增长，那么分成一个个小时间单位就是，t-1,79,t-2,78,t-3,77，以此类推，反过来，我们也可以从开始加速推起，t+0.1，0.1，t+0.2,0.2，依次类推，距离就是斜率决定的三角形面积。
P3
微积分中比较重要的函数，求出它们的斜率
dy/dx = ...
重要的函数
斜率
y = x^n dy/dx = nx^n-1
y = sinx dy/dx = CoS x
y = e^x dy/dx = e^x
s = dy/dx = (x + ^x)^2 - x^2/ ^x
这依然是瞬间平均速度，要求瞬时速度，还是要取某一点的极限，极限也就意味着^x趋于0
运动状态中的，增长、下降、快、慢，极大值、极小值，这些体现了导数的重要性和实用性所在
### p4 二阶导数（导数的导数）
它在处理极大、极小值时作用很大。
三个函数
距离、速度、速率的变化率
求函数的极小值，举例，速度停止，突然下降
例子三：极大值和最小值，到最高点。极大值求导出的值是负的，
极小值求导出是正的。
拐点是导数为0时，运动开始发生变化，可能从极小开始增长。也可能从极大下降。？（这个待确认）
### p5 指数函数
y = e^x
dy/dx = y
指数函数的导数就是它自身。
例子：
银行存款及利息，为了方便例子，我们假设存1块钱，一年的利息是100%。
如果粗略的算，这存款和利息的积累是指数级1^n次方。
但是我们如果要细化呢，以月算，以日算。
那就得用上微积分
假设以月算法
(1+1/12)^12，1加上12分之1的12次方是一年的总数。
假设日为算法
(1+365/1)^365： 1+ 365分之1的365次方是一年按日算的存款和利息总额
抽象公式：(1+n/1)^n ---> e
微分方程：dy/dx = cy (c=1)正利率，但利率也可能是负的。
### P6 积分总览
函数1: y(x) height
函数2: s(x) slope
关于微分和积分的推导:
y = x^n 微分:dy/dx = nx^n-1
求导反推原形:
导函数 dy/dx=x^n 反推原形：y=x^n+1/n+1
如何从函数2求函数1：斜率反推高度
(2)-->(1) y(x) = F s(x)dx
