介绍
线性代数中的线性变换其实是函数的扩展, 函数中定义有定义域和值域.但是在线性代数中定义域和值域都是向量, 这让问题有点复杂,尤其是定义域和值域的维度相同的时候很容易让人困惑. 其实数学都是来自实际生活问题的抽象, 为了容易理解问题, 可以返回到实际问题来想这个问题.
定义域和值域
初等函数中的定义域和值域
例如我们定义下面的函数
用文字描述上面的函数: 夏季桃子是4元/斤, 买x斤桃子要付多少钱.
对应计算规则是:如果买1️⃣斤就要付4元, 买2️⃣斤要付8元,......
函数就是定义了一个映射的规则, 这里的规则是把买的桃子的斤的数量映射为要付钱的钱. 如果用维度讲 斤是一个维度的, 元也是一个维度的. 虽然维度相同,但是意义不同.
线性代数中的定义域和值域
延续初等函数的函数问题, 我们这里假设进行海淘水果,而且用不同的货币进行结算,这么做只是为了说明问题方便
用文字描述一下: 海淘是日本西瓜是40日元/斤, 智利车厘子是80比索/斤,买日本西瓜 斤, 买智利车厘子
斤 , 要付日元和比索各多少?
如果各买5斤,10斤计算过程如下
根据矩阵乘法, 就是:
这里的定义域是 日本西瓜多少斤, 智利车厘子多少斤, 定义域是一个二维向量,有两个分量. 这里的值域是 日元要付多少, 比索要付多少, 值域也是一个二维向量,也有两个分量.
如果结算都用人民币,上面的这个矩阵其实就是中学学习的二元一次方程的变换形式,二元一次方程如下:
文字定义就是: 西瓜40元/斤, 车厘子 80元/斤, 付了100元, 可以买西瓜多少斤, 车厘子多少斤. 或者可以说 买西瓜1斤, 车厘子 3斤 要付多少钱?
如果使用人民币, 会得到一个总计, 但是我们都在超市买过东西, 小票上其实都是分开计算的条目. 付的钱其实也是有两个分量的.
但是要注意:定义域和值域两个二维向量的意义是完全不同的, 维度虽然相同,这个地方借助实际的例子来理解比较容易一点
结论
数学之所以有巨大的威力,是因为其对具体的问题进行了抽象处理. 抽象之后可以对很多问题进行高效的运算. 但是高效的运算本身并不是数学概念的本质. 理解数学概念中的意义才能更好的运用运算规则. 对于函数的定义域和值域含义的理解可以提高我们对代数的认识.
