定义

二分搜索树是二叉树。二分搜索树的每个节点的值大于其左子树每个节点的值，小于其右子树每个节点的值。每一颗子树也是二分搜索树。存储的元素必须有可比较性

实现

添加元素

// 向二分搜索树中添加新的元素e
public void add(E e){
    root = add(root, e);
}

// 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, E e){
    if(node == null){
        size ++;
        return new Node(e);
    }

    if(e.compareTo(node.e) < 0)
        node.left = add(node.left, e);
    else if(e.compareTo(node.e) > 0)
        node.right = add(node.right, e);

    return node;
}

节点定义

private class Node {
    public E e;
    public Node left, right;

    public Node(E e) {
      this.e = e;
      left = null;
      right = null;
    }
  }

  private Node root;
  private int size;

  public BST(){
    root = null;
    size = 0;
  }

  public int size(){
    return size;
  }

  public boolean isEmpty(){
    return size == 0;
  }

查询

// 看二分搜索树中是否包含元素e
public boolean contains(E e){
    return contains(root, e);
}

// 看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法
private boolean contains(Node node, E e){

    if(node == null)
        return false;

    if(e.compareTo(node.e) == 0)
        return true;
    else if(e.compareTo(node.e) < 0)
        return contains(node.left, e);
    else // e.compareTo(node.e) > 0
        return contains(node.right, e);
}

删除

// 寻找二分搜索树的最小元素
public E minimum(){
    if(size == 0)
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");

    return minimum(root).e;
}

// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
    if(node.left == null)
        return node;
    return minimum(node.left);
}

// 寻找二分搜索树的最大元素
public E maximum(){
    if(size == 0)
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty");

    return maximum(root).e;
}

// 返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
private Node maximum(Node node){
    if(node.right == null)
        return node;

    return maximum(node.right);
}

// 从二分搜索树中删除最小值所在节点, 返回最小值
public E removeMin(){
    E ret = minimum();
    root = removeMin(root);
    return ret;
}

// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){

    if(node.left == null){
        Node rightNode = node.right;
        node.right = null;
        size --;
        return rightNode;
    }

    node.left = removeMin(node.left);
    return node;
}

// 从二分搜索树中删除最大值所在节点
public E removeMax(){
    E ret = maximum();
    root = removeMax(root);
    return ret;
}

// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMax(Node node){

    if(node.right == null){
        Node leftNode = node.left;
        node.left = null;
        size --;
        return leftNode;
    }

    node.right = removeMax(node.right);
    return node;
}

// 从二分搜索树中删除元素为e的节点
public void remove(E e){
    root = remove(root, e);
}

// 删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node remove(Node node, E e){

    if( node == null )
        return null;

    if( e.compareTo(node.e) < 0 ){
        node.left = remove(node.left , e);
        return node;
    }
    else if(e.compareTo(node.e) > 0 ){
        node.right = remove(node.right, e);
        return node;
    }
    else{   // e.compareTo(node.e) == 0

        // 待删除节点左子树为空的情况
        if(node.left == null){
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size --;
            return rightNode;
        }

        // 待删除节点右子树为空的情况
        if(node.right == null){
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size --;
            return leftNode;
        }

        // 待删除节点左右子树均不为空的情况

        // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
        // 用这个节点顶替待删除节点的位置
        Node successor = minimum(node.right);
        successor.right = removeMin(node.right);
        successor.left = node.left;

        node.left = node.right = null;

        return successor;
    }
}

遍历

二叉树的遍历（traversing binary tree）是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次

前序遍历

规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。

// 二分搜索树的前序遍历
public void preOrder(){
    preOrder(root);
}

// 前序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void preOrder(Node node){
    if(node == null)
        return;

    System.out.println(node.e);
    preOrder(node.left);
    preOrder(node.right);
}

中序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。

// 二分搜索树的中序遍历
public void inOrder(){
    inOrder(root);
}

// 中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void inOrder(Node node){
    if(node == null)
        return;

    inOrder(node.left);
    System.out.println(node.e);
    inOrder(node.right);
}

后续遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。

// 二分搜索树的后序遍历
public void postOrder(){
    postOrder(root);
}

// 后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void postOrder(Node node){
    if(node == null)
        return;

    postOrder(node.left);
    postOrder(node.right);
    System.out.println(node.e);
}

层序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。

// 二分搜索树的层序遍历
public void levelOrder(){

    if(root == null)
        return;

    Queue<Node> q = new LinkedList<>();
    q.add(root);
    while(!q.isEmpty()){
        Node cur = q.remove();
        System.out.println(cur.e);

        if(cur.left != null)
            q.add(cur.left);
        if(cur.right != null)
            q.add(cur.right);
    }
}

时间复杂度

如果二分搜索树的高度是h，那么它的增删查的时间复杂度都是O(h)，第h层时间复杂度就是2^(h-1),满二叉树节点总数 n=2^0+2^1+....+2^(h-1) -> h = log2(n+1)=O(log2(n))。