LeetCode837 题解
爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：
爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1,W]的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。
每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。 当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？
示例 1： 输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
示例 2：
输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
示例 3：
输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278
提示：
0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案与正确答案的误差不超过10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。
题解
这题是2020年6月3日LeetCode上的每日一题，属于动态规划问题。
- 理解题意：这题是要求爱丽丝的胜率，也就是在游戏结束时分数不超过N分为获胜，求获胜的概率。
题目中她可以在[1,W]中选任意张，由于牌的数量无限，所以抽取每张牌的概率是一样的，都是1/w。
如果手牌得分是小于K，游戏将继续进行，而大于K则停止抽牌。停止抽牌时再与N进行比较。 - 求DP状态转移方程：设f[i]表示当手牌分数为i时能获胜的概率。
则
f[i] = 1/w * (f[x + 1] + f[x + 2] + ... + f[x + W])
- i能取到的最大值是K-1，所以当游戏结束时分数的最大值为K-1+W。而开始的分数是0，所以要求的结果就是f[0]的结果。
- 分段分析，当i在[K,K-1+W]时，无法抽牌了，此时只需要和N进行比较，大于N则概率为0，小于等于概率为1。而i在[0,K-1]时，可以继续抽牌。
- 差分优化，当i在[0,K-1]时f[i]状态转移方程的时间复杂度为O(N+KW)，需要进行优化。
f[i] - f[i + 1] = (f[i + 1] - f[i + W + 1])/W
f[i] = f[i + 1] - (f[x + W + 1] - f[i + 1])/W
代码
class Solution {
public double new21Game(int K,int N,int W) {
if (K == 0) return 1.0;
double[] f = new double[K + W];
for (int i = K;i <= N && i < K + W;i ++ ){
f[i] = 1.0;
}
f[K - 1] = 1.0 * Math.min(N - K + 1,W)/W;
for (int i = K- 2;i >= 0;i--) {
f[i] = f[i + 1] - (f[i + 1 + W] - f[i + 1)/W;
}
return f[0];
}
}
