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837. 新21点

Medium20200603

Description

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

示例1：

输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。

示例2：

输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。

示例3：

输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278

❝

提示：
0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。

Solution

动态规划

参考官方题解

以下称分数不超过 N为获胜。 爱丽丝获胜的概率只和下一轮开始前的得分有关，因此根据得分计算概率。

• 状态：令 dp[x]表示从得分为x的情况开始游戏并且获胜的概率，目标是求 dp[0] 的值。

• 边界情况：

  • 可以达到的最大分数：K-1+W(最后一次抽前分数为K-1，最后抽到了W)
  • K≤x≤min(N,K-1+W)时，dp[x]=1
  • x＞min(N,K-1+W)时，dp[x]=0

• 状态转移方程

  0≤x<K时，状态怎么转移？参考

  • 简化：

    0<=x<K-1时，

    (0<=x<K-1)

    (0<=x<K-1)

    x=K-1时，

class Solution {
    public double new21Game(int N, int K, int W) {
        if(K == 0){
            return 1.0;
        }
        double[] dp = new double[K+W+1];
        for(int i = K; i <= N && i <= K+W-1; i++){
            dp[i] = 1.0;
        }
        dp[K - 1] = 1.0 * Math.min(N-K+1, W) / W;
        for(int i = K-2; i >= 0; i--){
            dp[i] = dp[i+1] + (dp[i+1] - dp[i+1+W]) / W;
        }
        return dp[0];
    }
}