机器学习-线性代数-齐次线性方程组的解集的几何示意图在数轴上看到第三列的向量刚好是第一列向量倍,两个向量方向相反, 如果

介绍

在初中学习方程的时候遇到的形式都是 $ax+b=0$ 的形式, 如果在数轴上画出 $ax$ 和 $b$ ,两个量方向相反,大小相同,就可以组合为0. 齐次线性方程组的原理是一样的,方程组变形为简化阶梯形式就很容易看到向量的方向也遵循这个规律. 这里使用几何直观把两个向量表示出来,能够简化这个问题

齐次线性方程组定义

如果定义线性方程组为 $Ax=0$ , $A$ 是 $m*n$ 矩阵,0是 $R^{m}$ 中的向量,至少有一个解,就是 $x=0(R^{n})$ 中的向量.这个解被称为平凡解.对于齐次方程更为重要的是非平凡解,就是满足 $Ax=0$ 的非零向量 $x$ 根据解的唯一性定理,可以知道:

齐次线性方程组 $Ax=0$ 有平凡解,方程至少要有一个自由变量

示例

参见线性代数及其应用 1.5小节的例1(p42),确定下列齐次方程组是否有平凡解,并描述他的解集

\begin{cases}
& 3x_{1}+5x_{2}-4x_{3}=0 \\
& -3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=0 \\
& 6x_{1}+x_{2}-8x_{3}=0
\end{cases}

解令 $A$ 为方程组的系数举证, 并且把增广矩阵简化为 $\begin{bmatrix} A&0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3 & 5 & -4 &0 \\ -3 &-2 &4 &0 \\ 6 & 1 &-8 & 0 \end{bmatrix}$ -> $\begin{bmatrix} 3 & 5 & -4 &0 \\ 0 &3 &0 &0 \\ 0& -9 &0 & 0 \end{bmatrix}$ -> $\begin{bmatrix} 3 & 5 & -4 &0 \\ 0 &3 &0 &0 \\ 0& 0 &0 & 0 \end{bmatrix}$

$x_{3}$ 是自由变量, $Ax=0$ 有平凡解, 进一步把变为简化阶梯形:

$\begin{bmatrix} 1& 0 & -\frac{4}{3} &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 & 0 &0 & 0 \end{bmatrix}$ <=> $\begin{cases} & x_{1}-\frac{4}{3}x_{3}=0 \\ & x_{2}=0 \\ & 0=0 \end{cases}$

注意简化阶梯形的第一列和第三列.如果在坐标轴上画出两个向量,会发现两个向量的方向是相反的, 按照一定比例组合就可以得到0. 如果让第二列的向量系数为0, 要得到一个0向量, 只要第一列和第二列的两个向量系数配合就可以了.

解出基本变量 $x_{1}和x_{2}$ 得到 $x_{1}=\frac{4}{3}x_{3}$ , $x_{3}$ 是自由变量, $Ax=0$ 的通解有向量形式:

x= $\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \frac{4}{3}x_{3}\\ 0 \\ x_{3} \end{bmatrix}$ = $x_{3}\begin{bmatrix} \frac{4}{3}\\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

在数轴上看到第三列的向量刚好是第一列向量 $\frac{4}{3}$ 倍,两个向量方向相反, 如果第三列向量向左走1个单位,距离为 $-\frac{4}{3}$ , 第一列向量向右走 $\frac{4}{3}个单位,距离是$ $\frac{4}{3}$ , 两者相加在这个数轴上行进的距离就为0 .

齐次线性方程组有非平凡解的几何解释

从上面的实例可以理解为, 如果齐次线性方程组有非平凡解,矩阵的列向量至少有两个向量方向是一致的(夹角为0°或者180°). 只有这样才能通过系数乘积组合为0.

如果用维度解释,尽管有两个向量,但是这两个向量只能代表一个维度. 齐次线性方程组的非平凡解就可以揭示出矩阵中向量代表的真实维度. 这里用几何直观的方法解释了齐次线性方程组非平凡解的问题. 线性相关也是这个原理. 向量的方向是要关注的要点