哈夫曼树

定义

给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近

哈夫曼思考

结点路径长度，树的路径长度

WPL：树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和，记为WPL=（W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln），N个权值Wi（i=1,2,...n）构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li（i=1,2,...n）

如下图：

知识点

1、路径和路径长度
在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
2、结点的权及带权路径长度
若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
3、树的带权路径长度
树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。

哈夫曼树的构建

第一步 按照每个数串的权重进行排序

第二步 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；

第三步 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；

第四部 重复二 三 步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树

哈夫曼算法的实现

哈夫曼编码储存表示：

思路：

1 初始化 哈夫曼二叉树 

2 循环 不短找结点中，最小的2个结点值，加入到哈夫曼树中

代码实现

根据权重构建哈夫曼树

//根据权重值,构建哈夫曼树;
//{2,4,5,7}
//n = 4;
void Haffman(int weight[],int n,HaffNode *haffTree){
    
    int j,m1,m2,x1,x2;
    
    //1.哈夫曼树初始化
    //n个叶子结点. 2n-1
    for(int i = 0; i < 2*n-1;i++){
        
        if(i<n)
            haffTree[i].weight = weight[i];
        else
            haffTree[i].weight = 0;
        
        haffTree[i].parent = 0;
        haffTree[i].flag = 0;
        haffTree[i].leftChild = -1;
        haffTree[i].rightChild = -1;
    }
        
    //2.构造哈夫曼树haffTree的n-1个非叶结点
    for (int i = 0; i< n - 1; i++){
         m1 = m2 = MaxValue;
         x1 = x2 = 0;
        //2,4,5,7
        for (j = 0; j< n + i; j++)//循环找出所有权重中，最小的二个值--morgan
        {
            if (haffTree[j].weight < m1 && haffTree[j].flag == 0)
            {
                m2 = m1;
                x2 = x1;
                m1 = haffTree[j].weight;
                x1 = j;
            } else if(haffTree[j].weight<m2 && haffTree[j].flag == 0)
            {
                m2 = haffTree[j].weight;
                x2 = j;
            }
        }
        
        //3.将找出的两棵权值最小的子树合并为一棵子树
        haffTree[x1].parent = n + i;
        haffTree[x2].parent = n + i;
        //将2个结点的flag 标记为1,表示已经加入到哈夫曼树中
        haffTree[x1].flag = 1;
        haffTree[x2].flag = 1;
        //修改n+i结点的权值
        haffTree[n + i].weight = haffTree[x1].weight + haffTree[x2].weight;
        //修改n+i的左右孩子的值
        haffTree[n + i].leftChild = x1;
        haffTree[n + i].rightChild = x2;
    }
    
}

由n个结点的哈夫曼树haffTree构造哈夫曼编码haffCode

 由n个结点的哈夫曼树haffTree构造哈夫曼编码haffCode
 //{2,4,5,7}
 */
void HaffmanCode(HaffNode haffTree[], int n, Code haffCode[])
{
    //1.创建一个结点cd
    Code *cd = (Code * )malloc(sizeof(Code));
    int child, parent;
    //2.求n个叶结点的哈夫曼编码
    for (int i = 0; i<n; i++)
    {
        //从0开始计数
        cd->start = 0;
        //取得编码对应权值的字符
        cd->weight = haffTree[i].weight;
        //当叶子结点i 为孩子结点.
        child = i;
        //找到child 的双亲结点;
        parent = haffTree[child].parent;
        //由叶结点向上直到根结点
        while (parent != 0)
        {
            if (haffTree[parent].leftChild == child)
                cd->bit[cd->start] = 0;//左孩子结点编码0
            else
                cd->bit[cd->start] = 1;//右孩子结点编码1
            //编码自增
            cd->start++;
            //当前双亲结点成为孩子结点
            child = parent;
            //找到双亲结点
            parent = haffTree[child].parent;
        }
        
         int temp = 0;

        for (int j = cd->start - 1; j >= 0; j--){
            temp = cd->start-j-1;
            haffCode[i].bit[temp] = cd->bit[j];
        }
      
        //把cd中的数据赋值到haffCode[i]中.
        //保存好haffCode 的起始位以及权值;
        haffCode[i].start = cd->start;
        //保存编码对应的权值
        haffCode[i].weight = cd->weight;
    }
}