本节课会对协调博弈做一次更深层的展开，上一讲的协调博弈，本质上博弈双方的收益是一样的，所以更容易协调。如果博弈双方的收益不一样，一方更趋近于策略一，另一方更趋近于策略二，该怎么办呢？其次会介绍博弈论中有一个经典模型，纳什均衡的最早应用版本——古诺双寡头模型。

性别大战(Battle Of The Sexs)

  男女双方想要约会去看电影，此时电影院正在上映三部电影：《谍影重重》（The Bourne Ultimatum），《特工风云》（The Good Shepherd），《白雪公主》（Snow White and the Seven Dwarfs）。男方更偏好于《特工风云》，女方则更偏好于《谍影重重》，两方都不喜欢《白雪公主》，希望他们能够选择一起去看电影，否则不会有收益。如果你觉得两方可以协调去看白雪公主，emmmm，祝你幸福！ 具体博弈收益如下图所示：

  策略SW在任何情况都不会是BR，对于两方都是严格劣势策略，需要进行剔除。

  此博弈为协调博弈，存在两个纳什均衡。和。但是两个纳什均衡下的收益，对于两方是不同的。实际博弈过程中，如果女方坚持策略，男方则不得不妥协选择。

古诺双寡头模型(Cournot Duopoly)

  市场上有两家公司在生产一款同质产品。参与人是两家公司，策略是产品的产量，。
  其中生产每一个产品的成本是，故公司的成本为。
  市场定价有两个参数，（），市场定价和产品的数量有关，价格。两家企业生产的越多，价格自然也就越低。

  根据价格、成本和产量，我们可以先画出需求曲线（Demand curve）

  从图中就可以反映出，随着产量的增加，市场的定价在不断降低，最低不能使得定价低于成本，否则就亏本了。当定价和成本相等时，此交点被称为完全竞争产量，。

  接下来，我们先看博弈，对于公司一，收益可以写成:

  那么在对手的策略下，我们需要最大化我们的利益，此时的就是的最佳应对(BR)。

  我们对在上进行求导，令一阶导数为0，此时有极值。。

  我们发现二阶导，故存在最大值。

  我们可以求得公司一的最佳应对。

  同理我们也能够得到公司二的最佳应对。

  假设公司二倒闭了（产量为0），此时公司一处于垄断情况，最佳应对为也被成为垄断产量。如下图所示。

  抛开上述的博弈不谈，我们已经知道了完全竞争产量。现在我们来计算一下垄断产量。垄断产量也就是让公司收益最大的产量，即，可以求得。

  垄断产量还有一个定义，即边际利润为0时的产量，此时利润达到最大化。如果我们将市场定价换成边际收益，我们就能够画出边际收益曲线（Marginal Revenue）（图中红线所示）。边际收益是指增加一单位产品的销售所增加的收益。根据定义，我们可以写出边际收益的公式：

令边际利润，我们依然可以得到垄断产量。

  让我们回到博弈中来，我们得到了公司一和公司二的最佳应对。我们画出双方最佳应对的图。横坐标为公司一的产量，纵坐标为公司二的产量。

我们发现存在纳什均衡，由于对称性，我们令，解得纳什均衡。

  我们对比一下它和合伙人博弈的曲线：

  古诺双寡头博弈属于策略替代博弈，你生产的多，我就得生产的少。毕竟两者是竞争关系。
  合伙人博弈属于策略互补博弈，你出力多，我也会出力多。毕竟两者是合作关系。

  为什么两个公司不各生产垄断产量的一半（两点如上图 α，β 两点连线的中点(红色的点)所分别对应的产量(水蓝色的点)），以使得行业利润最大化呢？

  这就是纳什均衡的魅力，即使通过私下达成协议(限产协议是违法的)，一方仍会在另一房公司的产量下选择最佳应对。例如公司一和公司二各自生产了垄断产量的一半。此时公司一有理由增加产量来达到点的最佳应对点。而此时公司二也有理由相应的调整产量。来来回回，最终仍然会落到纳什均衡上。

  完全竞争产量、古诺产量、垄断产量三者的关系：
  完全竞争产量 > 古诺产量 > 垄断产量