1、图的最小生成树
连通图的⽣生成树定义: 所谓⼀一个连通图的⽣生成树是⼀一个极⼩小的连通⼦子图,它含有图中全部的n个顶点,但只⾜足以 构成⼀一颗树的n-1条边.
定义解读: 满⾜足以下3个条件则为连通图的⽣生成树:
- 图是连通图;
- 图中包含了了N个顶点;
- 图中边的数量量等于N-1条边.
最⼩小⽣生成树: 把构成连通⽹网的最⼩小代价的⽣生成树称为最⼩小⽣生成树
1.1普里姆(Prim)算法
思路：
- 定义2个数组; adjvex ⽤用来保存相关顶点下标; lowcost 保存顶点之间的权值
- 初始化2个数组, 从v0开始寻找最⼩小⽣生成树, 默认v0是最⼩小⽣生成树上第⼀一个顶点
- 循环lowcost 数组,根据权值,找到顶点 k;
- 更更新lowcost 数组
- 循环所有顶点,找到与顶点k 有关系的顶点. 并更更新lowcost 数组与adjvex 数组;
注意: 更更新lowcost 数组与adjvex 数组的条件:
- 与顶点k 之间有连接
- 当前结点 j 没有加⼊入过最⼩小⽣生成树;
- 顶点 k 与 当前顶点 j 之间的权值 ⼩小于 顶点j 与其他顶点 k 之前的权值. 则更更新. 简单说就是要⽐比较之前存储的值要⼩小,则更更新;
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef struct {
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}MGraph;
/* Prim算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G) {
int min, i, j, k;
int sum = 0;
/* 保存相关顶点下标 */
int adjvex[MAXVEX];
/* 保存相关顶点间边的权值 */
int lowcost[MAXVEX];
/* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
/* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
lowcost[0] = 0;
/* 初始化第一个顶点下标为0 */
adjvex[0] = 0;
//1. 初始化
for (i = 1; i < G.numVertexes; i++) { /* 循环除下标为0外的全部顶点 */
lowcost[i] = G.arc[0][i]; /* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
adjvex[i] = 0; /* 初始化都为v0的下标 */
}
//2. 循环除了下标为0以外的全部顶点, 找到lowcost数组中最小的顶点k
for (i = 1; i < G.numVertexes; i++) {
/* 初始化最小权值为∞， */
/* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
min = INFINITYC;
j = 1; k = 0;
while (j < G.numVertexes) { /* 循环全部顶点 */
/* 如果权值不为0且权值小于min */
if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) {
/* 则让当前权值成为最小值,更新min */
min = lowcost[j];
/* 将当前最小值的下标存入k */
k = j;
}
j++;
}
/* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
printf("(V%d, V%d)=%d\n", adjvex[k], k, G.arc[adjvex[k]][k]);
sum += G.arc[adjvex[k]][k];
/* 3.将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
lowcost[k] = 0;
/* 循环所有顶点,找到与顶点k 相连接的顶点
1. 与顶点k 之间连接;
2. 该结点没有被加入到生成树;
3. 顶点k 与 顶点j 之间的权值 < 顶点j 与其他顶点的权值,则更新lowcost 数组;
*/
for (j = 1; j < G.numVertexes; j++) {
/* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
if (lowcost[j] != 0 && G.arc[k][j] < lowcost[j]) {
/* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
lowcost[j] = G.arc[k][j];
/* 将下标为k的顶点存入adjvex */
adjvex[j] = k;
}
}
}
printf("sum = %d\n", sum);
}
swift
struct MGraph {
var arc: Array<Array<Int>> = Array<Array<Int>>()
var numNodes: Int = 0, numEdges: Int = 0
/* Prim算法生成最小生成树 */
func miniSpanTree_Prim() {
var sum = 0, k = 0
/* 保存相关顶点下标
* 初始化第一个顶点下标为0
* 初始化都为v0的下标
*/
var adjvex = Array<Int>(repeating: 0, count: numNodes)
/* 保存相关顶点间边的权值
* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树
* 将v0顶点与之有边的权值存入数组
* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树
*/
var lowcost = arc[0]
// 2. 循环除了下标为0以外的全部顶点, 找到lowcost数组中最小的顶点k
for _ in 1 ..< numNodes {
/* 初始化最小权值为∞， */
/* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
var min = Int.max
/* 循环全部顶点 */
for j in 1 ..< numNodes {
/* 如果权值不为0且权值小于min */
if lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min {
/* 则让当前权值成为最小值,更新min */
min = lowcost[j]
/* 将当前最小值的下标存入k */
k = j
}
}
/* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
print("(V\(adjvex[k]),V\(k)) = \(arc[adjvex[k]][k])")
sum += arc[adjvex[k]][k]
/* 3.将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
lowcost[k] = 0
/* 循环所有顶点,找到与顶点k 相连接的顶点
1. 与顶点k 之间连接;
2. 该结点没有被加入到生成树;
3. 顶点k 与 顶点j 之间的权值 < 顶点j 与其他顶点的权值,则更新lowcost 数组;
*/
for j in 1 ..< numNodes {
/* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
if lowcost[j] != 0 && arc[k][j] < lowcost[j] {
/* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
lowcost[j] = arc[k][j]
/* 将下标为k的顶点存入adjvex */
adjvex[j] = k
}
}
}
print("sun = \(sum)")
}
}
1.2 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法
思路：
- 将邻接矩阵 转化成 边表数组;
- 对边表数组根据权值按照从⼩小到⼤大的顺序排序;
- 遍历所有的边, 通过parent 数组找到边的连接信息; 避免闭环问题;
- 如果不不存在闭环问题,则加⼊入到最⼩小⽣生成树中. 并且修改parent 数组
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535
typedef int Status;
typedef struct {
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}MGraph;
/* 对边集数组Edge结构的定义 */
typedef struct {
int begin;
int end;
int weight;
}Edge;
/* 交换权值以及头和尾 */
void Swapn(Edge *edges, int i, int j) {
int tempValue;
//交换edges[i].begin 和 edges[j].begin 的值
tempValue = edges[i].begin;
edges[i].begin = edges[j].begin;
edges[j].begin = tempValue;
//交换edges[i].end 和 edges[j].end 的值
tempValue = edges[i].end;
edges[i].end = edges[j].end;
edges[j].end = tempValue;
//交换edges[i].weight 和 edges[j].weight 的值
tempValue = edges[i].weight;
edges[i].weight = edges[j].weight;
edges[j].weight = tempValue;
}
/* 对权值进行排序 */
void sort(Edge edges[], MGraph *G) {
//对权值进行排序(从小到大)
int i, j;
for (i = 0; i < G->numEdges; i++) {
for (j = i + 1; j < G->numEdges; j++) {
if (edges[i].weight > edges[j].weight) {
Swapn(edges, i, j);
}
}
}
printf("边集数组根据权值排序之后的为:\n");
for (i = 0; i < G->numEdges; i++) {
printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
}
}
/* 查找连线顶点的尾部下标 */
//根据顶点f以及parent 数组,可以找到当前顶点的尾部下标; 帮助我们判断2点之间是否存在闭环问题;
int Find(int *parent, int f) {
while (parent[f] > 0)
f = parent[f];
return f;
}
/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G) {
int i, j, n, m;
int sum = 0;
int k = 0;
/* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路
用来记录顶点间的连接关系. 通过它来防止最小生成树产生闭环;*/
int parent[MAXVEX];
/* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */
Edge edges[MAXEDGE];
/*1. 用来构建边集数组*/
for (i = 0; i < G.numVertexes - 1; i++) {
for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++) {
//如果当前路径权值 != ∞
if (G.arc[i][j] < INFINITYC) {
//将路径对应的begin,end,weight 存储到edges 边集数组中.
edges[k].begin = i;
edges[k].end = j;
edges[k].weight = G.arc[i][j];
//边集数组计算器k++;
k++;
}
}
}
//2. 对边集数组排序
sort(edges, &G);
//3.初始化parent 数组为0. 9个顶点;
// for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
for (i = 0; i < MAXVEX; i++) {
parent[i] = 0;
}
//4. 计算最小生成树
printf("打印最小生成树：\n");
/* 循环每一条边 G.numEdges 有15条边*/
for (i = 0; i < G.numEdges; i++) {
//获取begin,end 在parent 数组中的信息;
//如果n = m ,将begin 和 end 连接,就会产生闭合的环.
n = Find(parent, edges[i].begin);
m = Find(parent, edges[i].end);
//printf("n = %d,m = %d\n",n,m);
/* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
if (n != m) {
/* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
/* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
parent[n] = m;
/*打印最小生成树路径*/
printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
sum += edges[i].weight;
}
}
printf("sum = %d\n", sum);
}
swift
/* 对边集数组Edge结构的定义 */
struct Edge {
var begin: Int
var end: Int
var weight: Int
}
struct MGraph {
var arc: Array<Array<Int>> = Array<Array<Int>>()
var numNodes: Int = 0, numEdges: Int = 0
/* 生成最小生成树 */
func miniSpanTree_Kruskal() {
var sum = 0, k = 0
/* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路
用来记录顶点间的连接关系. 通过它来防止最小生成树产生闭环;*/
var parent = Array<Int>(repeating: 0, count: numEdges)
/* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */
var edges = Array<Edge>()
/* 1. 用来构建边集数组 */
for i in 0 ..< numNodes - 1 {
for j in i + 1 ..< numNodes {
// 如果当前路径权值 != ∞
if arc[i][j] < Int.max {
// 将路径对应的begin,end,weight 存储到edges 边集数组中.
let edge = Edge(begin: i, end: j, weight: arc[i][j])
edges.append(edge)
k += 1
}
}
}
// 2. 对边集数组排序
edges = sort(edges)
// 3. 计算最小生成树
print("打印最小生成树：")
/* 循环每一条边 G.numEdges 有15条边*/
for i in 0 ..< numEdges {
// 获取begin,end 在parent 数组中的信息;
// 如果n = m ,将begin 和 end 连接,就会产生闭合的环.
let n = find(parent, f: edges[i].begin)
let m = find(parent, f: edges[i].end)
/* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
if n != m {
/* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
/* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
parent[n] = m
/* 打印最小生成树路径 */
print("(\(edges[i].begin), \(edges[i].end)) \(edges[i].weight)")
sum += edges[i].weight
}
}
print("sum = \(sum)")
}
}
/* 交换权值以及头和尾 */
func swpan(_ edges: Array<Edge>, i: Int, j: Int) -> Array<Edge> {
var edgeArray = edges
var tempValue = 0
// 交换edges[i].begin 和 edges[j].begin 的值
tempValue = edgeArray[i].begin
edgeArray[i].begin = edgeArray[j].begin
edgeArray[j].begin = tempValue
// 交换edges[i].end 和 edges[j].end 的值
tempValue = edgeArray[i].end
edgeArray[i].end = edgeArray[j].end
edgeArray[j].end = tempValue
// 交换edges[i].weight 和 edges[j].weight 的值
tempValue = edgeArray[i].weight
edgeArray[i].weight = edgeArray[j].weight
edgeArray[j].weight = tempValue
return edgeArray
}
/* 对权值进行排序 */
func sort(_ edges: Array<Edge>) -> Array<Edge> {
var edgeArray = edges
// 对权值进行排序(从小到大)
for i in 0 ..< edgeArray.count {
for j in i + 1 ..< edgeArray.count {
if edgeArray[i].weight > edgeArray[j].weight {
edgeArray = swpan(edgeArray, i: i, j: j)
}
}
}
print("边集数组根据权值排序之后的为:")
for i in 0 ..< edgeArray.count {
print("(\(edgeArray[i].begin), \(edgeArray[i].end)) \(edgeArray[i].weight)")
}
return edgeArray
}
/* 查找连线顶点的尾部下标 */
// 根据顶点f以及parent 数组,可以找到当前顶点的尾部下标; 帮助我们判断2点之间是否存在闭环问题;
func find(_ parent: Array<Int>, f: Int) -> Int {
var key = f
while parent[key] > 0 {
key = parent[key]
}
return key
}
