1.图定义

图(Graph) 是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成. 通常表示为: G(V,E). 其中,G 表示⼀一个图, V是图G中的顶点集合,E 是图G中边的集合。

2.图的种类

2.1无向图

2.2有向图

2.3无向完全图

若图中各个顶点都与除自身外的其他顶点有关系，这样的无向图称为无向完全图

2.4有向完全图

2.5网

在某些实际场景中，图中的每条边（或弧）会赋予一个实数来表示一定的含义，这种与边（或弧）相匹配的实数被称为"权"，而带权的图通常称为网。

2.6子图

由图中一部分顶点和边构成的图，称为原图的子图。

3.图的存储

3.1邻接矩阵

使用数组存储图时，需要使用两个数组，一个数组存放图中顶点本身的数据（一维数组），另外一个数组用于存储各顶点之间的关系（二维数组）。

邻接矩阵存储的数据结构设计如下：

typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义  */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */
typedef struct
{
    VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表 */
    EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];/* 邻接矩阵，可看作边表 */
    int numNodes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数  */
}MGraph;

实现思路如下：

确定顶点数/边数
读取顶点信息
初始化邻接矩阵
读⼊入边信息
循环打印

实现代码如下：

void CreateMGraph(MGraph *G){
    
    int i,j,k,w;
    printf("输入顶点数和边数:\n");
    //1. 输入顶点数/边数
    scanf("%d,%d",&G->numNodes,&G->numEdges);
    printf("顶点数:%d,边数:%d\n",G->numNodes,G->numEdges);
    
    //2.输入顶点信息/顶点表
    for(i = 0; i<= G->numNodes;i++)
        scanf("%c",&G->vexs[i]);
    
    //3.初始化邻接矩阵
    for(i = 0; i < G->numNodes;i++)
         for(j = 0; j < G->numNodes;j++)
             G->arc[i][j] = INFINITYC;
    
    //4.输入边表信息
    for(k = 0; k < G->numEdges;k++){
        printf("输入边(vi,vj)上的下标i,下标j,权w\n");
        scanf("%d,%d,%d",&i,&j,&w);
        
        G->arc[i][j] = w;
        //如果无向图,矩阵对称;
        G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
        
    }
    /*5.打印邻接矩阵*/
    for (int i = 0; i < G->numNodes; i++) {
        printf("\n");
        for (int j = 0; j < G->numNodes; j++) {
            printf("%d ",G->arc[i][j]);
        }
    }
    printf("\n");
}

3.2邻接表

邻接表存储图的实现方式是，给图中的各个顶点独自建立一个链表，用节点存储该顶点，用链表中其他节点存储各自的邻接点。
与此同时，为了便于管理这些链表，通常会将所有链表的头节点存储到数组中。也正因为各个链表的头节点存储的是各个顶点，因此各链表在存储邻接点数据时，仅需存储该邻接顶点位于数组中的位置下标即可。

数据结构设计如下：

#define M 100

typedef char Element;
typedef int BOOL;
//邻接表的节点
typedef struct Node{
    int adj_vex_index;  //弧头的下标，也就是被指向的下标
    Element data;       //权重值
    struct Node * next; //边指针
}EdgeNode;

//顶点节点表
typedef struct vNode{
    Element data;          //顶点的权值
    EdgeNode * firstedge;  //顶点下一个是谁
}VertexNode, Adjlist[M];

//总图的一些信息
typedef struct Graph{
    Adjlist adjlist;       //顶点表
    int arc_num;           //边的个数
    int node_num;          //节点个数
    BOOL is_directed;      //是不是有向图
}Graph, *GraphLink;

邻接表存储的实现思路：
a. 确定顶点数/边数
b. 读取顶点信息
c. 创建一个结点插⼊入到对应的顶点数组中:
1.创建结点p
2 将结点p的adjvex 赋值 j
3 将结点p 插⼊入到对应的顶点数组下标i下
4 将顶点数组[i] 的firstedge设置为p
如果是⽆无向图,则循环1~4步骤.

代码实现：

void creatGraph(GraphLink *g){
    int i,j,k;
    EdgeNode *p;
    
    //1. 顶点,边,是否有向
    printf("输入顶点数目,边数和有向？：\n");
    scanf("%d %d %d", &(*g)->node_num, &(*g)->arc_num, &(*g)->is_directed);
    
    //2.顶点表
     printf("输入顶点信息：\n");
    for (i = 0; i < (*g)->node_num; i++) {
        getchar();
        scanf("%c", &(*g)->adjlist[i].data);
        (*g)->adjlist[i].firstedge = NULL;
    }
    
    //3.
    printf("输入边信息：\n");
    for (k = 0; k < (*g)->arc_num; k++){
        getchar();
        scanf("%d %d", &i, &j);
        
        //①新建一个节点
        p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
        //②弧头的下标
        p->adj_vex_index = j;
        //③头插法插进去，插的时候要找到弧尾，那就是顶点数组的下标i
        p->next = (*g)->adjlist[i].firstedge;
        //④将顶点数组[i].firstedge 设置为p
        (*g)->adjlist[i].firstedge = p;
        
        //j->i
        if(!(*g)->is_directed)
        {
            // j -----> i
            //①新建一个节点
            p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
            //②弧头的下标i
            p->adj_vex_index = i;
            //③头插法插进去，插的时候要找到弧尾，那就是顶点数组的下标i
            p->next = (*g)->adjlist[j].firstedge;
            //④将顶点数组[i].firstedge 设置为p
            (*g)->adjlist[j].firstedge = p;
        }
    }
}

//遍历
void putGraph(GraphLink g){
    int i;
    printf("邻接表中存储信息:\n");
    //遍历一遍顶点坐标，每个再进去走一次
    for (i = 0; i < g->node_num; i++) {
        EdgeNode * p = g->adjlist[i].firstedge;
        while (p) {
            printf("%c->%c ", g->adjlist[i].data, g->adjlist[p->adj_vex_index].data);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

数据结构与算法——图的存储