数据与算法之复杂度分析

一、 复杂度分析

function sum(n){
  let sum = 0;
  let i =1;
  let j =1;
  for(;i<= n; ++i){
   j =1;
   for(;j<=n;++j){
    sum = sum + i*j
   }
  }
}
假设每个语句的执行时间是unit_time。那这段代码的总执行时间T(n)是多少呢？
第2、3、4行代码，每行都需要1个unit_time的执行时间，第5、6行代码循环执行了n遍，需要2n * unit_time的执行时间，第7、8行代码循环执行了n2遍，所以需
要2n2 * unit_time的执行时间。所以，整段代码总的执行时间T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time。
尽管我们不知道unit_time的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间T(n)与每行代码
的执行次数n成正比。
规律总结成一个公式：
  T(n) = O(f(n))
其中，T(n)它表示代码执行的时间；n表示数据规模的大小；f(n)表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公
式，所以用f(n)来表示。公式中的O，表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。
所以，第一个例子中的T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行
时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

1.时间复杂度

分析时间复杂度的实用方法

1.只关注循环执行次数最多的一段代码

大O这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的n的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度

 例如：
  function sum(n){
    let sum = 0;
    let i =1;
    for(;i<=n;++i){
     sum = sum + i
    }
    return sum;
  }
 其中第2、3行代码都是常量级的执行时间，与n的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第4、5行代码，所以这块代码要重点分析。前面这两行代码被执行了n次，所以总的时间复杂度就是O(n)。

2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

function call(n){
  let sum_ 1 =0;
  let p = 1;
  for(;p<100;++p){
  sum_1 = sum_1 +p;
  }
  
  let sum_2 = 0;
  let q =1;
  for(; q<n;++q){
   sum_2 = sum_2 + q;
  }
  
  let sum_3 = 0;
  let j =1;
  let i =1;
  for(;I <= n;++i){
   j =1;
   for(;j<=n;++j){
    sum_3 = sum_3 + i*j
   } 
  }
  return sum_1 + sum_2 +sum_3
}
这个代码分为三部分，分别是求sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了100次，所以是一个常量的执行时间，跟n的规模无关
那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢？答案是O(n)和O(n2)，你应该能容易就分析出来，我就不啰嗦了。
综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为O(n2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间
复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是：
如果T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))

3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

如果T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).
也就是说，假设T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，则T1(n) * T2(n) = O(n3)。落实到具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环
例如：
function call(n){
  let ret =0;
  let i =1;
  for(; i< n; ++i){
   ret = ret + f(i)
  }
}  

function f(n){
  let sum = 0;
  let i =1;
  for(;i<n;++i){
    sum = sum +i;
  }
  return sum;
}

单独看call()函数。假设f()只是一个普通的操作，那第4～6行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但f()函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是T2(n) =
O(n)，所以，整个cal()函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

2.几种常见时间复杂度实例分析

复杂度量级
 常数阶      O(1)
 对数阶      O(logn)
 线性阶      O(n)
 线性对数阶   O(nlogn)
 平方阶      O(n2)   、立方阶
 指数阶      O(2n)
 阶乘阶      O(n!)
复杂度量级，可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n)和O(n!)

1. O(1)

O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有3行，它的时间复杂度也是O(1），而不是O(3)。
let i = 4;
let j = 2;
let sum = i+j;

  只要代码的执行时间不随n的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2. O(logn) 、 O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度
let i =1;
while( i <= n){
 i = i*2
}
根据复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的,所以，只要知道x值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过2x=n, x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是O(log2n)。对数之间是可以互相转换的，log3n就等于log32 * log2n，所以O(log3n) = O(C * log2n)，其中C=log32是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用
大O标记复杂度的时候，可以忽略系数，即O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为O(logn)

3. O(m+n)、 O(m*n)

function call(m,n){
  let sum_1 = o;
  let i =1;
  for(; i<m;++i){
    sum_1 =  sum_1 + i
  }
  let sum_2 = 0;
  let j = 1;
  for(;j<n;++j){
    sum_2 = sum_2 + j;
  }
  return sum_1 +sum_2
}
从代码中可以看出，m和n是表示两个数据规模。我们无法事先评估m和n谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是O(m+n)。针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

3.空间复杂度分析

 时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
 function print(n){
   let i =0;
   let a = [].conat(n)
   for(i;i<n;++i){
     a[i] = i*1
   }
   for(i =n -1;i>= 0 ; -- i){
     console.log(i)
   }
 }
  第2行代码中，申请了一个空间存储变量i，但是它是常量阶的，跟数据规模n没有关系，所以可以忽略。第3行申
请了一个大小为n的数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是O(n)。
我们常见的空间复杂度就是O(1)、O(n)、O(n2 )，像O(logn)、O(nlogn)这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。
 

二、最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

1、最好、最坏情况时间复杂度

function(arr,n,x){
 let pos = -1;
  for(let i=0;i<n;++i){
  if(arr[i] === x) pos = i
  }
  return pos
}
  这段代码要实现的功能是，在一个无序的数组（array）中，查找变量x出现的位置。如果没有找到，就返回-1。按照上节课讲的分析方法，这段代码的复杂度是O(n)，其中，n代表数组的长度。我们在数组中查找一个数据，并不需要每次都把整个数组都遍历一遍，因为有可能中途找到就可以提前结束循环了。但是，这段代码写得不够高效。我们可以这样优化一下这段查找代码。
  
function(arr,n,x){
 let pos = -1;
  for(let i=0;i<n;++i){
  if(arr[i] === x) {
    pos = i;
    break;
   }
  }
  return pos
}  
   优化完之后，这段代码的时间复杂度还是O(n)吗？很显然，咱们上一节讲的分析方法，解决不了这个问题。因为，要查找的变量x可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量x，那就不需要继续遍历剩下的n-1个数据了，那时间复杂度就是O(1)。但如果数组中不存在变量x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了O(n)。所以，不同的情况下，这段代码的时间复杂度是不一样的。
   为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度，我们需要引入三个概念：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度。顾名思义，最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。就像我们刚刚讲到的，在最理想的情况下，要查找的变量x正好是数组的第一个元素，这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。
同理，最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。就像刚举的那个例子，如果数组中没有要查找的变量x，我们需要把整个数组都遍历一遍才行，所以这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。

2. 平均情况时间复杂度

  最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大。为了更好地表示平均情况下的复杂度，我们需要引入另一个概念：平均情况时间复杂度，后面我简称为平均时间复杂度。
平均时间复杂度又该怎么分析呢？我还是借助刚才查找变量x的例子来给你解释。要查找的变量x在数组中的位置，有n+1种情况：在数组的0～n-1位置中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：

时间复杂度的大O标记法中，可以省略掉系数、低阶、常量，所以，咱们把刚刚这个公式简化之后，得到的平均时间复杂度就是O(n)。我们知道，要查找的变量x，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，为了方便你理解，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为1/2。另外，要查找的数据出现在0～n-1这n个位置的概率也是一样的，为1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在0～n-1中任意位置的概率就是1/(2n)。因此，前面的推导过程中存在的最大问题就是，没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去，那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样：

这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。引入概率之后，前面那段代码的加权平均值为(3n+1)/4。用大O表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是O(n)。

3.均摊时间复杂度

均摊时间复杂度，听起来跟平均时间复杂度有点儿像。平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到，而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限

let arr = []
let count = 0;
function insert(val){
 if(count === arr.length){
   let sum = 0;
   for(let i =0; i<arr.length; ++i){
    sum = sum + arr[i]
   }
    arr[0] = sum;
    count = 1;
 }
   arr[count] = val
   ++count
}

这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后，也就是代码中的count == array.length时，我们用for循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的sum值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。那这段代码的时间复杂度是多少呢？
   最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为count的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为O(1)。最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为O(n)。那平均时间复杂度是多少呢？答案是O(1)。假设数组的长度是n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为n种情况，每种情况的时间复杂度是O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是O(n)。而且，这n+1种情况发生的概率一样，都是1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是

  至此为止，前面的最好、最坏、平均时间复杂度的计算，理解起来应该都没有问题。但是这个例子里的平均复杂度分析其实并不需要这么复杂，不需要引入概率论的知识。这是为什么呢？我们先来对比一下这个insert()的例子和前面那个find()的例子，你就会发现这两者有很大差别。首先，find()函数在极端情况下，复杂度才为O(1)。但insert()在大部分情况下，时间复杂度都为O(1)。只有个别情况下，复杂度才比较高，为O(n)。这是insert()第一个区别于find()的地方。我们再来看第二个不同的地方。对于insert()函数来说，O(1)时间复杂度的插入和O(n)时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个O(n)插入之后，紧跟着n-1个O(1)的插入操作，循环往复。所以，针对这样一种特殊场景的复杂度分析，我们并不需要像之前讲平均复杂度分析方法那样，找出所有的输入情况及相应的发生概率，然后再计算加权平均值。针对这种特殊的场景，我们引入了一种更加简单的分析方法：摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字，叫均摊时间复杂度。那究竟如何使用摊还分析法来分析算法的均摊时间复杂度呢？我们还是继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次O(n)的插入操作，都会跟着n-1次O(1)的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的n-1次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是O(1)。这就是均摊分析的大致思路。你都理解了吗？均摊时间复杂度和摊还分析应用场景比较特殊，所以我们并不会经常用到。为了方便你理解、记忆，我这里简单总结一下它们的应用场景。如果你遇到了，知道是怎么回事儿就行了。对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。尽管很多数据结构和算法书籍都花了很大力气来区分平均时间复杂度和均摊时间复杂度，但其实我个人认为，均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度，我们没必要花太多精力去区分它们。你最应该掌握的是它的分析方法，摊还分析。至于分析出来的结果是叫平均还是叫均摊，这只是个说法，并不重要。