如果说几何学是对三维的探讨, 代数学探讨的维度可以从0维到无限维(n维).维度的概念是高度抽象的, 理解抽象概念需要具体的示例. 下面我们首先看看数学家丘成桐在它的传记里描述的维度问题,之后会陆续介绍一些不同的三维世界.
大宇之形-来自数学家的维度解释
在数学家和物理学联手解决世界本源问题的时候, 代数就扮演了重要的工具角色, 数学家到底是怎么思考这个问题的? 本部分请参考《大宇之形》豆瓣介绍
现实的三维世界,还有其他三维世界
从大宇之形开篇的的例子可以知道,我们和现实世界的苍蝇一样生活在三维世界中,我们怎么来描述这个世界? 每个时刻我们都在现实世界的哪一个位置? 你可以随手一指:就在那里.但是对于通过文字来传递信息的,这样描述没有办法让人理解. 在漫长的数学发展史中诞生了坐标系,从而有了可以在书面定量化表示三维世界位置的方法. 例如可以用(左右,前后,上下)的形式来描述三维世界中物体的离开零点的位置,0点位置没有前后,没有左右,没有上下可以表示为(0,0,0),离开0点位置的一个物体可以表示为(10,10,20) 对应了从0点向右走了10个单位,向前走了10个单位,向上走了20个单位. 我们可以从零点画一条到实物的线,这条线从零点开始,终止于物体在现实世界中的位置.由此,这个量既有了三个大小数字的分量,还有了方向. 如果两个物体在现实世界中位置一样, 我们可以不用描述零点的位置,可以表示为这两个物体的方向一样,三个分量一样(左右,前后,上下的位置不能改变). 这就是我们所知的向量(既有有方向又有大小的量)
(10,10,20)这其中的三个分量就是实际物体在三维世界中的三个性质. 这里的三维和几何世界的三维还不一样.现实世界的物体在三维空间中是一个点, 几何世界中既有点,也有线,面和体.如果我们要研究一个长方体在三维空间中的位置,我们可以先不管这个长方体的长宽高特性,把这三个性质先藏起来,变成一个点, 这样长方体在三维世界中的位置的标识方法和苍蝇在三维世界中位置的表示方法一样了.
空间中物体拥有三个性质的(前后,左右,上下)可以在坐标系中表示出来. 那么进一步思考拥有三个性质,例如描述一个的特征 (高矮,胖瘦,脉搏),如果定量化为(170,60,90),是不是也可以在坐标系中表示出来?答案是肯定的. 这一转变完成了维度的抽象转变. 三个维度不仅可以表示我们生活的世界中的位置, 只要有三个性质,用同样的方法处理也是可以的. 在一个x轴表示身高,y轴表示体重,z轴表示脉搏的坐标系中,我们可以依据这三个性质把每一个人都表示在坐标系中. 我们都不需要画出这个坐标系就知道这么做是可行的. 如果在不画出坐标系的情况下,我们想象一下有四个坐标轴的坐标系是什么情况. 四个轴的坐标系我们画不出来,但是任然是可以想象的. 假设在四维坐标系中画出拥有四个性质的一个点,可以吗? 肯定没问题.
结论
这是对维度的第一次探讨,后面会平凡的举一些例子来说明这个问题,目的是建立维度的思维方法. 在线性代数的核心问题线性方程组的解集就和矩阵的维度息息相关.后面会谈到.
