二叉树
定义
1. 结点: 树中的⼀个独⽴单元.包含⼀个数据元素及若⼲指向其他⼦树的分⽀.
例如, A,B,C,D等都是结点;
2. 结点的度: 结点拥有的⼦树数称为结点的度. 例如A的度是3, C的度为1, D的度为3, F的度为0.
3. 树的度: 树的度是树内各结点度的最⼤值,例如,上图中的应该是3;
4. 叶⼦: 度为0的结点称为叶⼦或终端结点. 例如,K,J,F,G,M,I,J 都是树的叶⼦.
5. ⾮终端结点: 度不为0的结点成为⾮终端结点或分⽀结点.除了根结点以外,⾮终端结点也称为内部结点;
6. 双亲和孩⼦: 结点的⼦树的根称为该结点的孩⼦,相应地,该结点称为孩⼦的双亲.
例如,B的双亲为A, B的孩⼦有E和F.
7. 兄弟: 同⼀个双亲的孩⼦之间称为兄弟结点, 例如H,I和J互为兄弟;
8. 祖先: 从根到该结点所经历的分⽀上的所有结点, 例如, M的祖先为A,D,H.
9. ⼦孙: 以某结点为根的⼦树中的任⼀结点都称为该结点的⼦孙.例如,B的⼦孙为E,F.
10. 层次:结点的层次从根开始定义起, 根为第⼀层, 根的孩⼦为第⼆层.
树中任⼀层次等于双亲结点的层次加1.
11. 堂兄弟: 双亲在同⼀层的结点互为堂兄弟.例如,结点G与E,F,H,i,J互为堂兄弟.
12. 有序树和⽆序树:
如果将树的结点的各⼦树看成从左到右是有次序的(即不能互换)则称为该树为有序树,否则是⽆序树.
在有序树中最左边的⼦树的根称为第⼀个孩⼦,最右边的称为最后⼀个孩⼦.
13. 节点的⾼度: 节点到叶⼦节点的最⻓路径(边数)
14. 节点的深度: 根结点到这个结点所经历的边的个数
15. 节点的层数: 节点的深度-1
16. 树的⾼度 : 根结点的⾼度.
⼆叉树(Binary Tree) 是n (n>=0)个结点所构成的集合.它或为空树(n=0),对于⾮空树T:
1. 有且仅有⼀个称之为根结点
2. 除了根结点以外的其余结点分为2个互不相交的⼦集T1,T2.
分别称为T的左⼦树和右⼦树,且T1和T2本身都是⼆叉树.
二叉树的性质:
1.在二叉树的第i层上最多有2i-1个结点 ;
2.深度为K的二叉树最多有2k - 1个结点(K>=1) ;
3.对于任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0 = n2 + 1;
4.具有n个结点的完全二叉树深度为(log2(n))+1;
5.性质5:对具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下和从左至右的顺序对二叉树的
所有结点从1开始编号，则对于任意的序号为i的结点有:
A.如果i>1，那么序号为i的结点的双亲结点序号为i/2；
B.如果i=1，那么序号为i的结点为根节点，无双亲结点；
C.如果2i<=n，那么序号为i的结点的左孩子结点序号为2i；
D.如果2i>n，那么序号为i的结点无左孩子；
E.如果2i+1<=n，那么序号为i的结点右孩子序号为2i+1；
F.如果2i+1>n，那么序号为i的结点无右孩
⼆叉树的特性:
1. ⼆叉树每个结点⾄多只有2颗⼦树(⼆叉树中不存在度⼤于2的结点). 所以⼆叉树中不存在⼤于2的结点.
注意: 不是只有2个⼦树,⽽是最多只有.如果⼆叉树中没有⼦树或者只有⼀颗树是可以的.
2. ⼆叉树的⼦树有左右之分,其次序不能任意颠倒.类似:就像⼈的双⼿,双脚.有顺序之分
3. 即使只有⼀棵树,也需要区分是左⼦树还是右⼦树.类似:就像你在⽣活中,摔伤了⼿.
伤的是左⼿还是右⼿,对你的⽣活影响都是完全不同的.
完全⼆叉树:对⼀颗具有n个结点的⼆叉树按层序编号,如果编号为i(1=< i <= n)的结点与同样深度的满⼆叉树中编号为i的结点⼆叉树中位置完全相同. 则这颗⼆叉树称为完全⼆叉树.
1. ⾸先"完全"和"满"的差异,满⼆叉树⼀定是⼀个完全⼆叉树，完全⼆叉树不⼀定是满的.
2. 完全⼆叉树的所有结点和同样深度的满⼆叉树,它们按照层序编号相同的结点⼀⼀对应.
这⾥有⼀个关键词是按层序编号.
1. 叶⼦结点只能出现在最下两层
- 最下层的叶⼦⼀定集中在左部连接
- 倒数第⼆层,若有叶⼦节点, ⼀定都在右部连续位置
- 如果结点度为1, 则该结点只有左孩⼦, 既不存在只有右⼦树的情况
- 同样结点数的⼆叉树, 完全⼆叉树的深度最⼩;
二叉树的顺序实现
- 实现
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int CElemType; /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef CElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点 */
CElemType Nil = 0; /*设整型以0为空 或者以 INT_MAX(65535)*/
typedef struct {
int level; //结点层
int order; //本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
}Position;
#pragma mark -- 二叉树的基本操作
// visit
Status visit(CElemType c){
printf("%d ",c);
return OK;
}
// 构造空二叉树T,因为T是固定数组,不会改变.
Status InitBiTree(SqBiTree T){
for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
//将二叉树初始化值置空
T[i] = Nil;
}
return OK;
}
// 按层序次序输入二叉树中的结点值(字符型或整型),构造顺序存储的二叉树T
Status CreateBiTree(SqBiTree T){
int i = 0;
//printf("按层序输入结点的值(整型),0表示空结点, 输入999结束.结点数<=%d\n",MAX_TREE_SIZE);
/*
1 -->1
2 3 -->2
4 5 6 7 -->3
8 9 10 -->4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nil Nil Nil
*/
while (i < 10) {
T[i] = i+1;
printf("%d ",T[i]);
//结点不为空,且无双亲结点
if (i != 0 && T[(i+1)/2-1] == Nil && T[i] != Nil) {
printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);
exit(ERROR);
}
i++;
}
//将空赋值给T的后面的结点
while (i < MAX_TREE_SIZE) {
T[i] = Nil;
i++;
}
return OK;
}
//技巧:
//如果大家想要2个函数的结果一样,但是目的不同;
//在顺序存储结构中, 两个函数完全一样的结果
#define ClearBiTree InitBiTree
/* 判断二叉树是否为空
初始条件: 二叉树已存在
操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则返回FALSE;
*/
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T){
//根结点为空,则二叉树为空
if (T[0] == Nil)
return TRUE;
return FALSE;
}
/* 获取二叉树的深度
初始条件: 二叉树已存在
操作结果: 返回二叉树T深度;
*/
int BiTreeDepth(SqBiTree T){
int j = -1;
int i;
//找到最后一个结点
//MAX_TREE_SIZE -> 100 -> 10 目的找到最后一个结点10的位置
for (i = MAX_TREE_SIZE-1 ; i>=0; i--) {
if (T[i] != Nil)
break;
}
do {
j++;
} while ( powl(2, j) <= i); //计算2的次幂
return j;
}
/* 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置)
操作结构: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
*/
CElemType Value(SqBiTree T,Position e){
/*
Position.level -> 结点层.表示第几层;
Position.order -> 本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
*/
//pow(2,e.level-1) 找到层序
printf("%d\n",(int)pow(2,e.level-1));
//e.order
printf("%d\n",e.order);
//4+2-2;
return T[(int)pow(2, e.level-1)+e.order-2];
}
/* 获取二叉树跟结点的值
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 当T不空,用e返回T的根, 返回OK; 否则返回ERROR
*/
Status Root(SqBiTree T,CElemType *e){
if (BiTreeEmpty(T)) {
return ERROR;
}
*e = T[0];
return OK;
}
/* 给处于位置e的结点赋值
初始条件: 二叉树存在,e是T中某个结点的位置
操作结果: 给处于位置e的结点赋值Value;
*/
Status Assign(SqBiTree T,Position e,CElemType value){
//找到当前e在数组中的具体位置索引
int i = (int)powl(2, e.level-1)+e.order -2;
//叶子结点的双亲为空
if (value != Nil && T[(i+1)/2-1] == Nil) {
return ERROR;
}
//给双亲赋空值但是有叶子结点
if (value == Nil && (T[i*2+1] != Nil || T[i*2+2] != Nil)) {
return ERROR;
}
T[i] = value;
return OK;
}
/* 获取e的双亲;
初始条件: 二叉树存在,e是T中的某一个结点
操作结果: 若e是T的非根结点, 则返回它的双亲,否则返回"空"
*/
CElemType Parent(SqBiTree T, CElemType e){
//空树
if (T[0] == Nil) {
return Nil;
}
for (int i = 1 ; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
//找到e
if (T[i] == e) {
return T[(i+1)/2 - 1];
}
}
//没有找到
return Nil;
}
/* 获取某个结点的左孩子;
初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
*/
CElemType LeftChild(SqBiTree T,CElemType e){
//空树
if (T[0] == Nil) {
return Nil;
}
for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
//找到e
if (T[i] == e) {
return T[i*2+1];
}
}
//没有找到
return Nil;
}
/* 获取某个结点的右孩子;
初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
*/
CElemType RightChild(SqBiTree T,CElemType e){
//空树
if (T[0] == Nil) {
return Nil;
}
for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
//找到e
if (T[i] == e) {
return T[i*2+2];
}
}
//没有找到
return Nil;
}
/* 获取结点的左兄弟
初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点
操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂
*/
CElemType LeftSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
/* 空树 */
if(T[0]==Nil)
return Nil;
for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
/* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */
if(T[i]==e&&i%2==0)
return T[i-1];
return Nil; /* 没找到e */
}
/* 获取结点的右兄弟
初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点
操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂
*/
CElemType RightSibling(SqBiTree T,CElemType e) {
/* 空树 */
if(T[0]==Nil)
return Nil;
for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
/* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */
if(T[i]==e&&i%2==1)
return T[i+1];
return Nil; /* 没找到e */
}
- 前序遍历：若二叉树为空,则空操作返回;否则先访问根结点,然后前序遍历左⼦树,在前序遍历右⼦树。
void PreTraverse(SqBiTree T,int e) {
//打印结点数据
visit(T[e]);
//先序遍历左子树
if (T[2 * e + 1] != Nil) {
PreTraverse(T, 2*e+1);
}
//最后先序遍历右子树
if (T[2 * e + 2] != Nil) {
PreTraverse(T, 2*e+2);
}
}
Status PreOrderTraverse(SqBiTree T) {
//树不为空
if (!BiTreeEmpty(T)) {
PreTraverse(T, 0);
}
printf("\n");
return OK;
}
- 中序遍历：若⼆叉树为空,则空操作返回;否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点),中序遍历根结点的左⼦树,然后是访问根结点,最后中序遍历右子树。
void InTraverse(SqBiTree T, int e) {
/* 左子树不空 */
if (T[2*e+1] != Nil)
InTraverse(T, 2*e+1);
visit(T[e]);
/* 右子树不空 */
if (T[2*e+2] != Nil)
InTraverse(T, 2*e+2);
}
Status InOrderTraverse(SqBiTree T) {
/* 树不空 */
if (!BiTreeEmpty(T)) {
InTraverse(T, 0);
}
printf("\n");
return OK;
}
- 后序遍历：若⼆叉树为空,则空操作返回;否则从左到右先叶⼦后结点的⽅式遍历左右⼦树,最后访问根结点。
void PostTraverse(SqBiTree T,int e){
/* 左子树不空 */
if (T[2*e+1]!=Nil)
PostTraverse(T,2*e+1);
/* 右子树不空 */
if (T[2*e+2]!=Nil)
PostTraverse(T,2*e+2);
visit(T[e]);
}
Status PostOrderTraverse(SqBiTree T) {
if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */
PostTraverse(T,0);
printf("\n");
return OK;
}
- 层序遍历：若⼆叉树为空,则空操作返回;否则从树的第⼀层,也是就是根结点开始访问,从上⽽下逐层遍历,在同⼀层中, 按从左到右的顺序对结点逐个访问。
void LevelOrderTraverse(SqBiTree T){
int i = MAX_TREE_SIZE-1;
//找到最后一个非空结点的序号
while (T[i] == Nil) i--;
//从根结点起,按层序遍历二叉树
for (int j = 0; j <= i; j++)
//只遍历非空结点
if (T[j] != Nil)
visit(T[j]);
printf("\n");
}
二叉树的链式实现
- 实现
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
/* 存储空间初始分配量 */
#define MAXSIZE 100
/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int Status;
#pragma mark--二叉树构造
int indexs = 1;
typedef char String[24]; /* 0号单元存放串的长度 */
String str;
Status StrAssign(String T,char *chars)
{
int i;
if(strlen(chars)>MAXSIZE)
return ERROR;
else
{
T[0]=strlen(chars);
for(i=1;i<=T[0];i++)
T[i]=*(chars+i-1);
return OK;
}
}
#pragma mark--二叉树基本操作
typedef char CElemType;
CElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */
typedef struct BiTNode /* 结点结构 */
{
CElemType data; /* 结点数据 */
struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
}BiTNode,*BiTree;
/*7.1 打印数据*/
Status visit(CElemType e)
{
printf("%c ",e);
return OK;
}
/* 7.2 构造空二叉树T */
Status InitBiTree(BiTree *T)
{
*T=NULL;
return OK;
}
/* 7.3 销毁二叉树
初始条件: 二叉树T存在。
操作结果: 销毁二叉树T
*/
void DestroyBiTree(BiTree *T)
{
if(*T)
{
/* 有左孩子 */
if((*T)->lchild)
DestroyBiTree(&(*T)->lchild); /* 销毁左孩子子树 */
/* 有右孩子 */
if((*T)->rchild)
DestroyBiTree(&(*T)->rchild); /* 销毁右孩子子树 */
free(*T); /* 释放根结点 */
*T=NULL; /* 空指针赋0 */
}
}
#define ClearBiTree DestroyBiTree
/*7.4 创建二叉树
按前序输入二叉树中的结点值(字符),#表示空树;
*/
void CreateBiTree(BiTree *T){
CElemType ch;
//获取字符
ch = str[indexs++];
//判断当前字符是否为'#'
if (ch == '#') {
*T = NULL;
}else
{
//创建新的结点
*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
//是否创建成功
if (!*T) {
exit(OVERFLOW);
}
/* 生成根结点 */
(*T)->data = ch;
/* 构造左子树 */
CreateBiTree(&(*T)->lchild);
/* 构造右子树 */
CreateBiTree(&(*T)->rchild);
}
}
/*
7.5 二叉树T是否为空;
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE
*/
Status BiTreeEmpty(BiTree T)
{
if(T)
return FALSE;
else
return TRUE;
}
/*
7.6 二叉树T的深度
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 返回T的深度
*/
int BiTreeDepth(BiTree T){
int i,j;
if(!T)
return 0;
//计算左孩子的深度
if(T->lchild)
i=BiTreeDepth(T->lchild);
else
i=0;
//计算右孩子的深度
if(T->rchild)
j=BiTreeDepth(T->rchild);
else
j=0;
//比较i和j
return i>j?i+1:j+1;
}
/*
7.7 二叉树T的根
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 返回T的根
*/
CElemType Root(BiTree T){
if (BiTreeEmpty(T))
return Nil;
return T->data;
}
/*
7.8 返回p所指向的结点值;
初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点
操作结果: 返回p所指结点的值
*/
CElemType Value(BiTree p){
return p->data;
}
/*
7.8 给p所指结点赋值为value;
初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点
操作结果: 给p所指结点赋值为value
*/
void Assign(BiTree p,CElemType value)
{
p->data=value;
}
- 前序遍历
void PreOrderTraverse(BiTree T) {
if(T==NULL)
return;
printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
PreOrderTraverse(T->lchild); /* 再先序遍历左子树 */
PreOrderTraverse(T->rchild); /* 最后先序遍历右子树 */
}
- 中序遍历
void InOrderTraverse(BiTree T) {
if (T==NULL)
return ;
InOrderTraverse(T->lchild); /* 中序遍历左子树 */
printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
InOrderTraverse(T->rchild); /* 最后中序遍历右子树 */
}
- 后序遍历
void PostOrderTraverse(BiTree T) {
if(T==NULL)
return;
PostOrderTraverse(T->lchild); /* 先后序遍历左子树 */
PostOrderTraverse(T->rchild); /* 再后序遍历右子树 */
printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
}
