概念
平衡二叉树
平衡二叉树是一种特殊的二叉排序树，它要么是一棵空树，要么它的左右子树满足一下条件：
- 左右子树都是平衡二叉树
- 左右子树的深度之差的绝对值不能超过1
平衡因子BF
二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF。
BF的值。
最小不平衡子树
距离插入点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，我们称为最小不平衡子树。
9为根结点的子树即为最小不平衡子树。
构建平衡二叉树
构建思想
在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点，先检查是否因为插入而破坏了树的平衡性。如果是，则找到最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树各个结点之前的链接关系。进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。
当平衡二叉树由于新增结点导致平衡性遭到破坏是，需要进行相应的调整，调整的规律可以分为以下4中情况：
- 单向右旋处理
圆形表示结点，方形表示子树。
假设在未加入结点N之前二叉排序树处于平衡状态，在根结点P的左孩子L的左子树Ll新加入结点N导致平衡遭到破坏，其中P为最小不平衡树的根结点。
加入N之前
此时L为根结点的子树为平衡树，而以P为根结点的不是平衡树，满足这种条件的只有一种情况，就是L结点原本的BF为0，假如L的BF为1，那么L也将失衡，如果L的BF为-1，那么L的左子树加入N并不会造成失衡。同时，如果需要满足P失衡，必须保证当前P的BF值为1，即Lr、Ll和Pr的深度相等。
加入N之后
L的左子树深度加1，右子树不变，L的BF变为1，P的BF变为2，产生失衡。需要进行调整。
观察可以发现，当我们需要单向右旋的时候，最小不平衡子树的根结点和左孩子的BF值，分别为2、1，它们是同符号并且都为正数
具体的右旋操作为：
//1.右旋
/*
对以T为根的二叉排序树作右旋处理;
处理之后p指向新的树根结点,即旋转处理之前的左子树的根结点;
*/
void R_Rotate(BiTree *p){
BiTree L;
//① L是p的左子树;
L = (*p)->lchild;
//② L的右子树作为p的左子树
(*p)->lchild = L->rchild;
//③ 将p作为L的右子树
L->rchild = (*p);
//④ 将L替换原有p的根结点位置
*p = L;
}
- 单向左旋处理
/*
2.左旋
对以P为根的二叉排序树作左旋处理
处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点
*/
void L_Rotate(BiTree *p){
BiTree R;
//① R是p的右子树
R = (*p)->rchild;
//② R的左子树作为R的右子树
(*p)->rchild = R->lchild;
//③ 将p作为R的左子树;
R->lchild = (*p);
//④ 将R替换原有p的根结点的位置
*p = R;
}
- 双向旋转(先左后右)处理
假设在未加入结点N之前二叉排序树处于平衡状态，在根结点P的左孩子L的右子树Lr新加入结点N导致平衡遭到破坏，其中P为最小不平衡树的根结点。
加入N之前
和单向右旋一样，Ll和Lr以及Pr的深度必须一样，这样才能确保加入N之后P失衡。
加入N之后
L的右子树Lr深度加1，左子树不变，L的BF变为-1，P的BF变为2，产生失衡。需要进行调整。
上图新结点
N插在Lr的左子树上。
此外，还有两种情况我们需要注意，和上图的区别在于计算恢复平衡之后各个结点的BF值时有不同的处理。
N插在Lr的右子树上。
N直接插在Lr的位置上，就是说插入前L还没有右孩子。观察可以发现，当我们需要双向旋转的时候，最小不平衡子树的根结点和左孩子的
BF值，分别为2、-1，它们是不同符号的。
此时我们需要先将L进行左旋，保证P和Lr的BF同符号，其次再将P进行右旋，得到调整后的平衡树。
- 双向旋转(先右后左)处理
这种情况和先左后右的双向旋转是一样的，只不过是方向是相反的。
具体实现
#define LH +1 /* 左高 */
#define EH 0 /* 等高 */
#define RH -1 /* 右高 */
/*
3. 对指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理,算法结束后,指针T指向平衡处理后新的根结点
*/
void LeftBalance(BiTree *T)
{
//此时T->bf = LH
BiTree L,Lr;
//1.L指向T的左子树根结点
L=(*T)->lchild;
//2.检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理
switch(L->bf)
{
//① 新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理
case LH:
//L的平衡因子为LH,即为1时,表示它与根结点BF符合相同,则将它们(T,L)的BF值都改为EH(0)
(*T)->bf=L->bf=EH;
//对最小不平衡子树T进行右旋;
R_Rotate(T);
break;
//② L的平衡因子为RH(-1)时,它与跟结点的BF值符合相反.此时需要做双旋处理(2次旋转处理)
// 新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作 双旋处理
case RH:
//Lr指向T的左孩子的右子树根
Lr=L->rchild;
//修改T及其左孩子的平衡因子
switch(Lr->bf) {
case LH:
(*T)->bf=RH;
L->bf=EH;
break;
case EH:
(*T)->bf=L->bf=EH;
break;
case RH:
(*T)->bf=EH;
L->bf=LH;
break;
}
Lr->bf=EH;
//对T的左子树作左旋平衡处理
L_Rotate(&(*T)->lchild);
//对T作右旋平衡处理
R_Rotate(T);
}
}
/*
4. 右平衡树失衡处理
对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理
本算法结束时，指针T指向新的根结点
*/
void RightBalance(BiTree *T)
{
BiTree R,Rl;
//1.R指向T的右子树根结点
R=(*T)->rchild;
//2. 检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理
switch(R->bf)
{
//① 新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理
case RH:
(*T)->bf=R->bf=EH;
L_Rotate(T);
break;
//新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理
case LH:
//Rl指向T的右孩子的左子树根
Rl=R->lchild;
//修改T及其右孩子的平衡因子
switch(Rl->bf)
{
case RH:
(*T)->bf=LH;
R->bf=EH;
break;
case EH:
(*T)->bf=R->bf=EH;
break;
case LH:
(*T)->bf=EH;
R->bf=RH;
break;
}
Rl->bf=EH;
//对T的右子树作右旋平衡处理
R_Rotate(&(*T)->rchild);
//对T作左旋平衡处理
L_Rotate(T);
}
}
Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller)
{
if(!*T)
{ //1.插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE
//① 开辟一个新结点T;
*T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
//② 对新结点T的data赋值,并且让其左右孩子指向为空,T的BF值为EH;
(*T)->data=e;
(*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL;
(*T)->bf=EH;
//③ 新结点默认"长高"
*taller=TRUE;
}
else
{
if (e==(*T)->data)
{ //2.树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入
*taller=FALSE;
return FALSE;
}
if (e<(*T)->data)
{
//3.应继续在T的左子树中进行搜索
if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
//未插入
return FALSE;
//4.已插入到T的左子树中且左子树“长高”
if(*taller)
//5.检查T的平衡度
switch((*T)->bf)
{
case LH:
//原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理
LeftBalance(T);
*taller=FALSE;
break;
case EH:
//原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高
(*T)->bf=LH;
*taller=TRUE;
break;
case RH:
//原本右子树比左子树高，现左、右子树等高
(*T)->bf=EH;
*taller=FALSE;
break;
}
}
else
{ //6.应继续在T的右子树中进行搜索
//未插入
if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
return FALSE;
//已插入到T的右子树且右子树“长高”
if(*taller)
// 检查T的平衡度
switch((*T)->bf)
{
//原本左子树比右子树高，现左、右子树等高
case LH:
(*T)->bf=EH;
*taller=FALSE;
break;
//原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高
case EH:
(*T)->bf=RH;
*taller=TRUE;
break;
// 原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理
case RH:
RightBalance(T);
*taller=FALSE;
break;
}
}
}
return TRUE;
}
