一.拓扑排序
1.定义
用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向图称为顶点表示活动的网，简称AOV-网。
2.拓扑排序的过程：
- 在有向图中选中一个无前驱的顶点并且将它输出。
- 从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。
- 重复前两步，直至不存在无前驱的顶点。
- 若此时输出的顶点数小于有向图中的顶点数，则说明有向图中存在环，否则输出的顶点序列即为一个拓扑序列。
3.核心代码
Status TopologicalSort(GraphAdjList GL){
EdgeNode *e;
int i,k,gettop;
//用于栈指针下标
int top=0;
//用于统计输出顶点的个数
int count=0;
//建栈将入度为0的顶点入栈(目的:为了避免每次查找时都要遍历顶点表查找有没有入度为0的顶点)
int *stack=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) );
//1.遍历邻接表-顶点表,将入度in为0的顶点入栈
/*参考图1> 此时stack栈中应该成为0,1,3.即V0,V1,V3的顶点入度为0*/
for(i = 0; i< GL->numVertexes; i++)
//将入度为0的顶点入栈
if(0 == GL->adjList[i].in)
stack[++top] = i;
printf("top = %d\n",top);
//2.循环栈结构(当栈中有元素则循环继续)
while(top!=0)
{
//出栈
gettop = stack[top--];
printf("%d -> ",GL->adjList[gettop].data);
//输出顶点，并计数
count++;
//遍历与栈顶相连接的弧
for(e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next)
{
//获取与gettop连接的顶点
k=e->adjvex;
//1.将与gettop连接的顶点入度减1;
//2.判断如果当前减1后为0,则入栈
if( !(--GL->adjList[k].in) )
//将k入栈到stack中,并且top加1;
stack[++top]=k;
}
}
/*思考:3 -> 1 -> 2 -> 6 -> 0 -> 4 -> 5 -> 8 -> 7 -> 12 -> 9 -> 10 ->13 -> 11
这并不是唯一的拓扑排序结果.
分析算法:将入度为0的顶点入栈的时间复杂度为O(n), 而之后的while 循环,每个顶点进一次栈,并且出一次栈. 入度减1, 则共执行了e(边的总数)次. 那么整个算法的时间复杂度为O(n+e)*/
printf("\n");
//判断是否把所有的顶点都输出. 则表示找到了拓扑排序;
if(count < GL->numVertexes)
return ERROR;
else
return OK;
}
4.输出拓扑序列
3 -> 1 -> 2 -> 6 -> 0 -> 4 -> 5 -> 8 -> 7 -> 12 -> 9 -> 10 -> 13 -> 11
二.关键路径的求解
1.定义
AOE-网是一个带权的有向无环图，顶点表示时间，弧表示活动，权表示活动持续的时间。通常AOE-网用来表示估算工程的完成时间。
2.关键路径的求解过程
- 对图中顶点进行排序，在排序过程中按拓扑序列求出每个事件的最早发生时间
etv(i)。 - 按逆拓扑序列求出每个事件的最迟发生时间
ltv(i)。 - 求出每个活动的最早开始时间
ete。 - 求出每个活动的最晚开始时间
lte。 - 找出
ete(i) = lte(i)的活动,即为关键活动。 - 由关键活动形成的由源点到汇点的每一条路径就是关键路径，关键路径有可能不止一条。
3.核心代码
//求关键路径, GL为有向网,则输出G的各项关键活动;
void CriticalPath(GraphAdjList GL){
EdgeNode *e;
int i,gettop,k,j;
//声明活动最早发生时间和最迟发生时间变量;
int ete,lte;
//求得拓扑序列,计算etv数组以及stack2的值
TopologicalSort(GL);
//打印etv数组(事件最早发生时间)
printf("etv:\n");
for(i = 0; i < GL->numVertexes; i++)
printf("etv[%d] = %d \n",i,etv[i]);
printf("\n");
//事件最晚发生时间数组
ltv = (int *)malloc(sizeof(int) * GL->numVertexes);
//初始化ltv数组
for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++) {
//初始化ltv数组. 赋值etv最后一个事件的值
ltv[i] = etv[GL->numVertexes-1];
//printf("ltv[%d] = %d\n",i,ltv[i]);
}
//计算ltv(事件最晚发生时间) 出栈求ltv
while (top2 != 0) {
//出栈(栈顶元素)
gettop = stack2[top2--];
//找到与栈顶元素连接的顶点; 例如V0是与V1和V2连接
for (e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next) {
//获取与gettop 相连接的顶点
k = e->adjvex;
//计算min(ltv[k]-e->weight,ltv[gettop])
if (ltv[k] - e->weight < ltv[gettop]) {
//更新ltv 数组
ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
}
}
}
//打印ltv 数组
printf("ltv:\n");
for (i = 0 ; i < GL->numVertexes; i++) {
printf("ltv[%d] = %d \n",i,ltv[i]);
}
printf("\n");
//求解ete,lte 并且判断lte与ete 是否相等.相等则是关键活动;
//2层循环(遍历顶点表,边表)
for(j=0; j<GL->numVertexes;j++)
{
for (e = GL->adjList[j].firstedge; e; e = e->next) {
//获取与j连接的顶点;
k = e->adjvex;
//ete 就是表示活动 <Vk, Vj> 的最早开工时间, 是针对这条弧来说的.而这条弧的弧尾顶点Vk 的事件发生了, 它才可以发生. 因此ete = etv[k];
ete = etv[j];
//lte 表示活动<Vk, Vj> 的最晚开工时间, 但此活动再晚也不能等Vj 事件发生才开始,而是必须在Vj 事件之前发生. 所以lte = ltv[j] - len<Vk, Vj>.
lte = ltv[k]-e->weight;
//如果ete == lte 则输出j,k以及权值;
if (ete == lte) {
printf("<%d-%d> length:%d\n",GL->adjList[j].data, GL->adjList[k].data, e->weight);
}
}
}
}
4.输出
Hello, 关键路径的求解!
TopologicSort: 0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 6 -> 5 -> 7 -> 8 -> 9 ->
etv:
etv[0] = 0
etv[1] = 3
etv[2] = 4
etv[3] = 12
etv[4] = 15
etv[5] = 11
etv[6] = 24
etv[7] = 19
etv[8] = 24
etv[9] = 27
ltv:
ltv[0] = 0
ltv[1] = 7
ltv[2] = 4
ltv[3] = 12
ltv[4] = 15
ltv[5] = 13
ltv[6] = 25
ltv[7] = 19
ltv[8] = 24
ltv[9] = 27
<0-2> length:4
<2-3> length:8
<3-4> length:3
<4-7> length:4
<7-8> length:5
<8-9> length:3
