数据结构与算法（十四）-图的应用-最短路径问题Dijkstra算法声明三个数组：final数组、D数组、p数组思路结果打

图

Dijkstra算法

声明三个数组：final数组、D数组、p数组

思路

final数组作用：标识V0到某个顶点Vw是否已经求得了最短路径的标记。如果V0到Vw已经有结果，则final[w] = 1;
D数组作用：标识V0到某个顶点Vw的路径；
p数组作用：当前顶点的前驱顶点的下标

结果打印

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;
typedef struct {
    int vexs[MAXVEX];
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
} MGraph;

/*用于存储最短路径下标的数组*/
typedef int Patharc[MAXVEX];
/*用于存储到各点最短路径权值的和*/
typedef int ShortPathTable[MAXVEX];

/*1 创建邻近矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G) {
    int i, j;
    
    G->numEdges=16;
    G->numVertexes=9;
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) {
        G->vexs[i]=i;
    }
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
        }
    }
    
    G->arc[0][1]=1;
    G->arc[0][2]=5;
    G->arc[1][2]=3;
    G->arc[1][3]=7;
    G->arc[1][4]=5;
    G->arc[2][4]=1;
    G->arc[2][5]=7;
    G->arc[3][4]=2;
    G->arc[3][6]=3;
    G->arc[4][5]=3;
    G->arc[4][6]=6;
    G->arc[4][7]=9;
    G->arc[5][7]=5;
    G->arc[6][7]=2;
    G->arc[6][8]=7;
    G->arc[7][8]=4;
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) {
        for (j = i; j < G->numVertexes; j++) {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
    
}

/*2 求得网图中2点间最短路径
 Dijkstra 算法
 G: 网图;
 v0: V0开始的顶点;
 p[v]: 前驱顶点下标;
 D[v]: 表示从V0到V的最短路径长度和;
 */
void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D) {
    int v,w,k,min;
    k = 0;
    /*final[w] = 1 表示求得顶点V0~Vw的最短路径*/
    int final[MAXVEX];
    
    //1.初始化数据
    for(v=0; v<G.numVertexes; v++) {
        //全部顶点初始化为未知最短路径状态0
        final[v] = 0;
        //将与V0 点有连线的顶点最短路径值;
        (*D)[v] = G.arc[v0][v];
        //初始化路径数组p = 0;
        (*P)[v] = 0;
    }
    //V0到V0的路径为0
    (*D)[v0] = 0;
    //V0到V0 是没有路径的.
    final[v0] = 1;
    //v0到V0是没有路径的
    (*P)[v0] = -1;
    
    //2. 开始主循环,每次求得V0到某个顶点的最短路径
    for(v=1; v<G.numVertexes; v++) {
        
        //当前所知距离V0顶点最近的距离
        min=INFINITYC;
        /*3.寻找离V0最近的顶点*/
        for(w=0; w<G.numVertexes; w++) {
            if(!final[w] && (*D)[w]<min) {
                k=w;
                //w顶点距离V0顶点更近
                min = (*D)[w];
            }
        }
        
        //将目前找到最近的顶点置为1;
        final[k] = 1;
        
        /*4.把刚刚找到v0到v1最短路径的基础上,对于v1 与 其他顶点的边进行计算,得到v0与它们的当前最短距离;*/
        for(w=0; w<G.numVertexes; w++) {
            //如果经过v顶点的路径比现在这条路径长度短,则更新
            if(!final[w] && (min + G.arc[k][w]<(*D)[w])) {
                //找到更短路径, 则修改D[W],P[W]
                //修改当前路径的长度
                (*D)[w] = min + G.arc[k][w];
                (*P)[w]=k;
            }
        }
    }
}

int main(void) {
    printf("最短路径-Dijkstra算法\n");
    int i,j,v0;
    MGraph G;
    Patharc P;
    ShortPathTable D;
    v0=0;
    
    CreateMGraph(&G);
    ShortestPath_Dijkstra(G, v0, &P, &D);
    
    printf("最短路径路线:\n");
    for(i=1;i<G.numVertexes;++i) {
        printf("v%d -> v%d : ",v0,i);
        j=i;
        while(P[j]!=-1) {
            printf("%d ",P[j]);
            j=P[j];
        }
        printf("\n");
    }
    
    printf("\n最短路径权值和\n");
    for(i=1;i<G.numVertexes;++i)
        printf("v%d -> v%d : %d \n",G.vexs[0],G.vexs[i],D[i]);
    
    printf("\n");
    return 0;
}

Floyd算法

公式

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;//Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等

typedef struct {
    int vexs[MAXVEX];
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
} MGraph;

typedef int Patharc[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];

/* Floyd算法，求网图G中各顶点v到其余顶点w的最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w]。Patharc 和 ShortPathTable 都是二维数组; */
void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D) {
    int v,w,k;
    
    //1. 初始化D与P 矩阵
    for (v = 0; v < G.numVertexes; ++v) {
        for (w = 0; w < G.numVertexes; ++w) {
            /* D[v][w]值即为对应点间的权值 */
            (*D)[v][w]=G.arc[v][w];
            /* 初始化P P[v][w] = w*/
            (*P)[v][w]=w;
        }
    }
    
    //2.K表示经过的中转顶点
    for (k = 0; k < G.numVertexes; ++k) {
        for (v = 0; v < G.numVertexes; ++v) {
            for (w = 0; w < G.numVertexes; ++w) {
                /*如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短 */
                if ((*D)[v][w]>(*D)[v][k]+(*D)[k][w]) {
                    /* 将当前两点间权值设为更小的一个 */
                    (*D)[v][w]=(*D)[v][k]+(*D)[k][w];
                    /* 路径设置为经过下标为k的顶点 */
                    (*P)[v][w]=(*P)[v][k];
                }
            }
        }
    }
}

int main(void) {
    printf("Hello,最短路径弗洛伊德Floyd算法");
    int v,w,k;
    MGraph G;
    
    Patharc P;
    ShortPathTable D; /* 求某点到其余各点的最短路径 */
    CreateMGraph(&G);
    ShortestPath_Floyd(G,&P,&D);
    
    /*以V0-V8为例,从P数组中,P[0][8] = 1,得到要经过顶点V1,
    然后将1取代0得到P[1][8] = 2; 说明需要经过V2,则将2取代1得到P[2][8] = 4,
    则表示需要经过V4,则将4取代2得到P[4][8] = 3, 说明…… 以此类推,
    推导最终的最短路径为 V0~V1~V2~V4~V3~V6~V7~V8; 
    */
    //打印所有可能的顶点之间的最短路径以及路线值
    printf("各顶点间最短路径如下:\n");
    for (v = 0; v < G.numVertexes; ++v) {
        for (w = v+1; w < G.numVertexes; w++) {
            printf("v%d-v%d weight: %d ",v,w,D[v][w]);
            //获得第一个路径顶点下标
            k = P[v][w];
            //打印源点
            printf("path: %d",v);
            //如果路径顶点下标不是终点
            while(k != w) {
                //打印路径顶点
                printf(" -> %d",k);
                //获得下一个路径顶点下标
                k=P[k][w];
            }
            //打印终点
            printf(" -> %d\n",w);
        }
        printf("\n");
    }
    
    //打印最终变换后的最短路径D数组
    printf("最短路径D数组\n");
    for (v = 0; v < G.numVertexes; ++v) {
        for (w = 0; w < G.numVertexes; ++w) {
            printf("%d\t",D[v][w]);
        }
        printf("\n");
    }
    //打印最终变换后的最短路径P数组
    printf("最短路径P数组\n");
    for (v = 0; v < G.numVertexes; ++v) {
        for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w) {
            printf("%d ",P[v][w]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

数据结构与算法（十四）-图的应用-最短路径问题

思路

结果打印

公式