1.定义

1.1 KPM

Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为 “KMP算法”，常用于在一个文本串S内查找一个模式串P 的出现位置，这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris三人于1977年联合发表，故取这3人的姓氏命名此算法。

1.2 PMT

KMP算法的核心，是一个被称为部分匹配表(Partial Match Table)的数组。

对于字符串“abababca”，它的PMT如下表所示：

就像例子中所示的，如果待匹配的模式字符串有8个字符，那么PMT就会有8个值。那么这8个值有什么含义呢？这这些值又是怎么求出来的呢？

1.3 前缀和后缀

如果字符串A和B，存在A=BS，其中S是任意的非空字符串，那就称B为A的前缀。例如，”Harry”的前缀包括{”H”, ”Ha”, ”Har”, ”Harr”}，我们把所有前缀组成的集合，称为字符串的前缀集合。
同样可以定义后缀A=SB，其中S是任意的非空字符串，那就称B为A的后缀，例如，”Potter”的后缀包括{”otter”, ”tter”, ”ter”, ”er”, ”r”}，然后把所有后缀组成的集合，称为字符串的后缀集合。
要注意的是，字符串本身并不是自己的后缀。

2. PMT的值的含义

我们知道了字符串前缀和后缀的定义，我们就知道PMT中的值的含义了。PMT中的值是字符串的前缀集合与后缀集合的交集中最长元素的长度。
例如，对于”aba”，它的前缀集合为{”a”, ”ab”}，后缀集合为{”ba”, ”a”}。两个集合的交集为{”a”}，那么长度最长的元素就是字符串”a”了，长度为1，所以对于”aba”而言，它在PMT表中对应的值就是1。
再比如，对于字符串”ababa”，它的前缀集合为{”a”, ”ab”, ”aba”, ”abab”}，它的后缀集合为{”baba”, ”aba”, ”ba”, ”a”}，两个集合的交集为{”a”, ”aba”}，其中最长的元素为”aba”，长度为3。

3. 利用PMT实现KMP

我们再来看如何使用PMT表来加速字符串的查找，以及这样用的道理是什么。

如上图所示，要在主字符串"ababababca"中查找模式字符串"abababca"。如果在j 处字符不匹配，那么主字符串从 i−j 到 i 这一段是与模式字符串的 0 到 j 这一段是完全相同的。
模式字符串从 0 到 j−1 ，在这个例子中就是”ababab”，其前缀集合与后缀集合的交集的最长元素为”abab”，也就是图中的灰色部分，长度为4。
可以断言，主字符串中i指针之前的 4 位一定与模式字符串的第0位至第 4 位是相同的，即长度为 4 的后缀与前缀相同。
这样一来，我们就可以将这些字符段的比较省略掉。
具体的做法是，保持i指针不动，然后将j指针指向模式字符串的PMT[j −1]位即可。
简言之，以图中的例子来说，在 i 处失配，那么主字符串和模式字符串的前边6位就是相同的。又因为模式字符串的前6位，它的前4位前缀和后4位后缀是相同的，所以我们推知主字符串i之前的4位和模式字符串开头的4位是相同的。就是图中的灰色部分。那这部分就不用再比较了。

这样我们就可以使用PMT加速字符串的查找了。我们看到如果是在 j 位失配，那么影响 j 指针回溯的位置的其实是第 j −1 位的 PMT 值。

既然一定知道了PMT的值的含义和如何使用了，那么如何求PMT数组的值呢?

为了编程的方便，我们不直接使用PMT数组，而是将PMT数组向后偏移一位。我们把新得到的这个数组称为next数组。下面给出根据next数组进行字符串匹配加速的字符串匹配程序。其中要注意的一个技巧是，在把PMT进行向右偏移时，第0位的值，我们将其设成了-1，这只是为了编程的方便，并没有其他的意义，next数组如下表所示。

利用PMT实现KMP代码如下:

int KMP(char * t, char * p) 
{
  //记录主串下标
  int i = 0;
  //记录模式串下标
  int j = 0;

  while (i < strlen(t) && j < strlen(p)){
    if (j == -1 || t[i] == p[j]) {
      i++;
      j++;
    } else {
      j = next[j];  	
    }
    
    if (j == strlen(p)) {
       return i - j;
    }
    else {
       return -1;
    }
}

4. 求next数组

求next数组的过程完全可以看成字符串匹配的过程，即以模式字符串为主字符串，以模式字符串的前缀为目标字符串，一旦字符串匹配成功，那么当前的next值就是匹配成功的字符串的长度。具体来说，就是从模式字符串的第一位(注意，不包括第0位)开始对自身进行匹配运算。在任一位置，能匹配的最长长度就是当前位置的next值。

void get_next(char *p,int *next){
    //next[0]设为-1
    next[0] = -1;
    //i为主字符串下标 j为next值
    int i = 0, j = -1;
    
    while (i < strlen(p))
    {
        if (j == -1 || p[i] == p[j])
        {
            ++i;
            ++j;
            next[i] = j;
        }
        else {
            j = next[j];
        }
    }
}

数据结构与算法——KMP算法