数据结构与算法最小生成树1.最小生成树的条件：把构成连通⽹网的最小代价的生成树称为最小生成树。 1.生成树的顶点不能形

1.最小生成树的条件：把构成连通⽹网的最小代价的生成树称为最小生成树。最小生成树的条件： 1.生成树的顶点不能形成闭环。 2.生成树的权值的和最小。

最小生成树有两种算法：Prim算法和Kruskal算法。

prim算法：

定义2个数组; adjvex ⽤用来保存相关顶点下标; lowcost 保存顶点之间的权值
初始化2个数组, 从v0开始寻找最⼩小⽣生成树, 默认v0是最⼩小⽣生成树上第⼀一个顶点 3. 循环lowcost 数组,根据权值,找到顶点 k;
更更新lowcost 数组
循环所有顶点,找到与顶点k 有关系的顶点. 并更更新lowcost 数组与adjvex 数组;

注意:

更新lowcost 数组与adjvex 数组的条件:

与顶点k 之间有连接
当前结点 j 没有加⼊入过最⼩小⽣生成树;
顶点 k 与当前顶点 j 之间的权值⼩小于顶点j 与其他顶点 k 之前的权值. 则更更新. 简单说就是要⽐比较之前存储的值要⼩小,则更新;

实现最小生成树前需要把顶点用邻接矩阵实现，将顶点已顶点之间的权值用结构体保存起来，也可以进行手动输入，这里为了方便，首先先所有顶点写死。

有联系的点用权值保存，没有联系的点用∞表示，这里用65535表示∞，

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

typedef struct
{
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;


/*9.1 创建邻接矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G) {/* 构件图 */
    int i, j;
    /* printf("请输入边数和顶点数:"); */
    G->numEdges=15;
    G->numVertexes=9;
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
        }
    }
    
    G->arc[0][1]=10;
    G->arc[0][5]=11;
    G->arc[1][2]=18;
    G->arc[1][8]=12;
    G->arc[1][6]=20;
    G->arc[2][8]=8;
    G->arc[2][3]=22;
    G->arc[3][8]=21;
    G->arc[3][6]=24;
    G->arc[3][7]=16;
    G->arc[3][4]=20;
    G->arc[4][7]=7;
    G->arc[4][5]=26;
    G->arc[5][6]=17;
    G->arc[6][7]=19;
    
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
}

邻接矩阵实现，实现过程中也可以进行手动输入。

Prim算法生成最小生成树：

/* Prim算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
    int min, i, j, k;
    int sum = 0;
    /* 保存相关顶点下标 */
    int adjvex[MAXVEX];
    /* 保存相关顶点间边的权值 */
    int lowcost[MAXVEX];
    
    /* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
    /* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
    lowcost[0] = 0;
    
    /* 初始化第一个顶点下标为0 */
    adjvex[0] = 0;
    
    //1. 初始化
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)    /* 循环除下标为0外的全部顶点 */
    {
        lowcost[i] = G.arc[0][i];    /* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
        adjvex[i] = 0;                    /* 初始化都为v0的下标 */
    }
    
    //2. 循环除了下标为0以外的全部顶点, 找到lowcost数组中最小的顶点k
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)
    {
        /* 初始化最小权值为∞， */
        /* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
        min = INFINITYC;
        
        j = 1;k = 0;
        while(j < G.numVertexes)    /* 循环全部顶点 */
        {
            /* 如果权值不为0且权值小于min */
            if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)
            {
                /* 则让当前权值成为最小值,更新min */
                min = lowcost[j];
                /* 将当前最小值的下标存入k */
                k = j;
            }
            j++;
        }
        
        /* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
        printf("(V%d, V%d)=%d\n", adjvex[k], k ,G.arc[adjvex[k]][k]);
        sum+=G.arc[adjvex[k]][k];
        
        /* 3.将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
        lowcost[k] = 0;
        
        /* 循环所有顶点,找到与顶点k 相连接的顶点
         1. 与顶点k 之间连接;
         2. 该结点没有被加入到生成树;
         3. 顶点k 与 顶点j 之间的权值 < 顶点j 与其他顶点的权值,则更新lowcost 数组;
         
         */
        for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            /* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
            if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
            {
                /* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
                lowcost[j] = G.arc[k][j];
                /* 将下标为k的顶点存入adjvex */
                adjvex[j] = k;
            }
        }
    }
    printf("sum = %d\n",sum);
}

//
int main(void)
{
    printf("Hello,最小生成树_Prim算法\n");
    
    MGraph G;
    CreateMGraph(&G);
    MiniSpanTree_Prim(G);
    
    return 0;
    
}

输入结果：
Hello,最小生成树_Prim算法
(V0, V1)=10
(V0, V5)=11
(V1, V8)=12
(V8, V2)=8
(V1, V6)=16
(V6, V7)=19
(V7, V4)=7
(V7, V3)=16
sum = 99

使用prim算法实现最小生成树不回出现闭环的情况。

数据结构与算法 最小生成树

数据结构与算法最小生成树