上节课通过一个博弈已经引出了最佳应对(Best Response,BR)。本节课通过点球博弈会对最佳应对进行更深入的探讨，并给出定义。同时通过介绍商业合作博弈，引入了一个博弈论中非常著名的知识：纳什均衡(Nash Equilibrium,NE)。

点球博弈

我们来看如下一个博弈。在点球大战中，博弈的双方分别是点球方和守门员。点球方有3种策略，分别是向左踢(L)，向中间踢(M)，向右踢(R)。而守门员就两种选择，向左扑(l)，向右扑(r)。具体的博弈用表格展示如下：

其中的数字表示概率， $U_1(L,l)=4$ 表示的是当点球方选择向左踢，守门员向左扑时，进球的概率是40%。

我们可以按照上节课同样的方法绘制图像。横坐标是守门员向右扑的概率，纵坐标是进球的概率。假设是线性的关系，我们可以绘制图像如下：

红线表示的是当我方选择向左射门时的预期收益。
蓝线—中路。
绿线—右路。

守门员向右扑救时，我方向左射门仍只有90%的概率，是因为考虑了10%的概率射飞。

根据上图分析可以知道，当门将向右扑的概率小于50%时，我们应该向右射门(即BR是R)，当门将向右扑的概率大于50%时，我们应该向左射门(即BR是L)。我们发现无论在我方对守门员的预测(信念，belief)是什么，向中路射门(M)永远都不是BR。

结论

此时，我们得到了第一条结论，和严格劣势策略类似：不要选择在任何条件下都不是最佳应对的策略。

博弈变种

此博弈只是一个理想化的模型，我们稍微向着现实改进一些，例如考虑射门的力量及球速。

当向中间射门时，我们不太需要考虑精准度，自然就会提高射门的力量，球速变快，导致射门概率增大，增大10%。
而向两侧射门时，我们为了射准，会控制力量，导致球速变慢，从而留给守门员反应的时间更长，导致射门的概率变低，降低10%。

此时博弈的图会更改如下，如虚线所示：

那么此时，策略M也是BR，当门将向右扑的概率介于两个橙点之间时，向中间射门是一个最好的策略。

最佳应对

最佳应对(BR)的正式定义写作：假设参与人 $i$ 的策略 $\hat s_i$ 是一个BR，是对手策略 $s_{-i}$ 的BR，那么在对手选择 $s_{-i}$ 时，对于 $i$ 而言， $\hat s_i$ 要弱优于所有其他策略 $s_i'$ 。即：

$U_i(\hat s_i, s_{-i}) \geq U_i(s_i',s_{-i})$ for all $s_i'$ in $S_i$

和之前的严格优势策略的定义对比，for all修饰的是对手的所有策略，而现在修饰的是我方所有的其他策略。

然而在更广义的定义中，你是不知道对手的策略 $s_{-i}$ ，而只能基于自己的猜测，也就是信念(我认为对手会出什么策略)。所以我们可以给出最佳策略更广义的定义：在参与人 $i$ 持有信念 $p$ 的情况下， $\hat s_i$ 要弱优于所有其他策略 $s_i'$ 。那么策略 $\hat s_i$ 是参与人 $i$ 在信念 $p$ 下的BR。

$EU_i(\hat s_i, p) \geq EU_i(s_i',p)$ for all $s_i'$ in $S_i$

在点球博弈中，我方持有的信念p就是对方会以多大的概率向右扑 $p(r)$ ，多大的概率向左扑 $p(l)$ 。此时我方向左边射门的收益可以写作：

EU_i(L,p) = p(l) \times U_i(L,l) + p(r) \times U_i(L,r)

商业合作博弈

参与者：两个参与人都是公司股东，各持有公司50%的股份，供应合伙关系;
策略：每个股东要选择对公司投入精力，以“小时”表示，策略集合=[0,4]，即可选择0到4间任意实数“小时”的投入，这是一个连续区间，不是同于选数博弈中的只能选整数。
利润表达如下 $4 \times [s_1+s_2+bs_1s_2]$ , $b \in [0,\frac{1}{4}]$ 。b表达的是两个公司的协同程度。值得注意在利润中，有一项 $s_1s_2$ ，这一项表达的是两个参与者因为合作带来的收益，如果不存在这一项，单单就是 $s_1+s_2$ ，那合作不合作就没有意义了，因为收益只和自己有关。收益：我们可以定义参与者的收益为 $U_1(s_1,s_2) = \frac{1}{2} \times 4 \times [s_1+s_2+bs_1s_2] - s_1^2$ 。其中 $s_1^2$ 是自身的投入，也就是成本。