排序算法
说到排序算法，它可能是最接近程序员日常工作的算法，像 Java、Python 里 sort() API 的实现，都离不开快速排序。非常经典的逆序对问题的最佳解法也需要用到归并排序，所以排序算法很大程度上能体现一个程序员的基础扎实程度。这里对排序算法做一个全面的归纳总结。
复杂度总览
除了最下面三种特殊排序算法，目前所有排序算法都无法突破 O(nlogn) 的时间复杂度下限。根据时间复杂度是 O(n^2) 还是 O(nlogn)，我们把排序算法分为初级排序算法和高级排序算法。
三大初级排序算法
初级排序算法指的是时间复杂度为 O(n^2) 的算法，是基本功的体现，要做到手写不虚。
选择排序
选择排序(Selection-sort)是一种简单直观的排序算法。它的工作原理：首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。
简而言之，就是每次选最小（大）的，放在最前面，也是最符合人类直觉的排序算法。
动图演示
Java 实现
public void selectionSort(int[] array) {
int len = array.length;
int minIndex = 0;
for (int i = 0; i < len; ++i) {
minIndex = i;
for (int j = i; j < len; ++j) {
if (array[j] < array[minIndex]) {
minIndex = j;
}
}
int tmp = array[minIndex];
array[minIndex] = array[i];
array[i] = tmp;
}
}
冒泡排序
冒泡排序重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来，直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。
算法步骤
- 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换它们两个；
- 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对，这样在最后的元素应该会是最大的数；
- 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个；
- 重复步骤1~3，直到排序完成。
动图演示
Java 实现
public void bubbleSort(int[] array) {
int len = array.length;
for (int i = 0; i < len - 1; ++i) {
for (int j = 0; j < len - 1 - i; ++j) {
if (array[j] > array[j + 1]) {
int tmp = array[j];
array[j] = array[j + 1];
array[j + 1] = tmp;
}
}
}
}
插入排序
插入排序（Insertion-Sort）的算法描述是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。
算法描述
一般来说，插入排序都采用in-place在数组上实现。具体算法描述如下：
- 从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序；
- 取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描；
- 如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置；
- 重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；
- 将新元素插入到该位置后；
- 重复步骤2~5。
动图演示
Java 实现
public void insertionSort(int[] array) {
int len = array.length;
int preIndex, cur;
for (int i = 1; i < len; ++i) {
preIndex = i - 1;
cur = array[i];
while (preIndex >= 0 && cur < array[preIndex]) {
array[preIndex + 1] = array[preIndex];
preIndex--;
}
array[preIndex + 1] = cur;
}
}
三大高级排序算法
高级排序算法是指时间复杂度为 O(nlogn) 的算法，也是最重要的排序算法。
快速排序
快速排序的基本思想：通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。
算法描述
快速排序使用分治法来把一个串（list）分为两个子串（sub-lists）。具体算法描述如下：
- 从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）；
- 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；
- 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。
动图演示
Java 实现
public class QuickSort {
public void quickSort(int[] array, int begin, int end) {
if (begin >= end) return;
int pivot = partition(array, begin, end);
quickSort(array, begin, pivot - 1);
quickSort(array, pivot + 1, end);
}
private int partition(int[] a, int begin, int end) {
int pivot = end, counter = begin;
for (int i = begin; i < end; ++i) {
if (a[i] < a[pivot]) {
int temp = a[counter];
a[counter] = a[i];
a[i] = temp;
counter++;
}
}
int temp = a[pivot];
a[pivot] = a[counter];
a[counter] = temp;
return counter;
}
}
归并排序
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并。
算法描述
- 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列；
- 对这两个子序列分别采用归并排序；
- 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。
动图演示
Java 实现
public class MergeSort {
public void mergeSort(int[] array, int begin, int end) {
if (begin >= end) return;
int mid = (begin + end) >> 1;
mergeSort(array, begin, mid);
mergeSort(array, mid + 1, end);
merge(array, begin, mid, end);
}
private void merge(int[] array, int begin, int mid, int end) {
int[] temp = new int[end - begin + 1];
int i = begin, j = mid + 1, k = 0;
while (i <= mid && j <= end) {
temp[k++] = array[i] < array[j] ? array[i++] : array[j++];
}
while (i <= mid) temp[k++] = array[i++];
while (j <= end) temp[k++] = array[j++];
System.arraycopy(temp, 0, array, begin, temp.length);
}
}
堆排序
堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。
算法描述
- 将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；
- 将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n]；
- 由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。
动图演示
Java 实现
public class HeapSort {
public void heapsort(int[] array) {
int len = array.length;
if (len == 0) return;
for (int i = len / 2 - 1; i >= 0; --i) {
heapify(array, len, i);
}
for (int i = len - 1; i >= 0; --i) {
int temp = array[i];
array[i] = array[0];
array[0] = temp;
heapify(array, i, 0);
}
}
private void heapify(int[] array, int length, int i) {
int left = 2 * i + 1, right = 2 * i + 2;
int largest = i;
if (left < length && array[left] > array[largest]) largest = left;
if (right < length && array[right] > array[largest]) largest = right;
if (largest != i) {
int temp = array[i];
array[i] = array[largest];
array[largest] = temp;
heapify(array, length, largest);
}
}
}
三大特殊排序算法
计数排序
作为一种线性时间复杂度的排序，计数排序要求输入的数据必须是有确定范围的整数。计数排序不是基于比较的排序算法，其核心在于将输入的数据值转化为键存储在额外开辟的数组空间中，然后依次把计数大于 1 的填充回原数组。
动图演示
桶排序
桶排序 (Bucket sort)的工作的原理：假设输入数据服从均匀分布，将数据分到有限数量的桶里，每个桶再分别排序（有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行排序）。
示意图如下：
基数排序
基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序。
动图演示
经典例题
LeetCode 242.Anagram
思路：
- 比较sort后是否相同
- 运用计数排序思想，比较各字母数量是否相同
class Solution {
public boolean isAnagram(String s, String t) {
if (s.length() != t.length()) return false;
int[] arr = new int[26];
for (int i = 0; i < s.length(); ++i) {
arr[s.charAt(i) - 'a']++;
arr[t.charAt(i) - 'a']--;
}
for (int a: arr) {
if (a != 0) return false;
}
return true;
}
}
LeetCode 493.翻转对 ReversePairs
思路：
- 暴力，双重循环
- 直接归并排序 + 统计，时间复杂度 O(nlogn)，也是最佳解法
- 树状数组（竞赛解法），时间复杂度 O(nlogn)，在此不做展开
class Solution {
public int reversePairs(int[] nums) {
return mergeSort(nums, 0, nums.length - 1);
}
private int mergeSort(int[] nums, int begin, int end) {
if (begin >= end) return 0;
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
int count = mergeSort(nums, begin, mid) + mergeSort(nums, mid + 1, end);
int[] temp = new int[end - begin + 1];
int i = begin, j = mid + 1, p = mid + 1, k = 0;
while (i <= mid) {
while (p <= end && nums[i] > 2 * (long)nums[p]) p++;
while (j <= end && nums[i] > nums[j]) temp[k++] = nums[j++];
temp[k++] = nums[i++];
count += p - (mid + 1);
}
while (j <= end) temp[k++] = nums[j++];
System.arraycopy(temp, 0, nums, begin, temp.length);
return count;
}
}
