前情提要

之前写了动态规划的相关文章，仅仅只是介绍了动态规划的相关概念，并没有细致深入的去分析动态规划的其他例子，作为动态规划最经典的便是01 背包问题，记得曾经听过这样一句话，所以有关动态规划的问题都可以转换成为01背包问题。

什么是01背包

有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

为方便讲解和理解，下面讲述的例子均先用具体的数字代入，即：eg：number＝4，capacity＝8

思路详情

（1）把背包问题抽象化（x1,x2,x3...xn），其中xi取0或者1可以表示选或者不选，vi表示第i个物品的价值，wi表示第i个物品的体积（或重量）

（2）建立模型：max（v1x1+v2x2+....+vnxn）

（3）约束条件为（w1x1+w2x2+....wnxn） < capacity （capacity为包的体积）

（4）定义（vi，j）: 当前背包容量为j，前i个最佳组合对应的价值

（5）最优性原理是动态规划重的基础，不论初始状态，初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后的各阶段决策必须形成最优

假设 OPT（x1,x2,...,xn）
肯定存在OPT（x2,x3...,xn）

再假设：（Y1,Y2,...Y3）是上述子问题的最优解，则应该有的是
（v2x2+v1x1+....vnxn）+v1x1 < (v2Y2+v3Y3+....vnYn)+v1x

（6）寻找递推关系式

① 包的容量比该商品小，装不下，此时的价值与前i-1个价值一样
V(i，j) = v(i-1，j)

② 有足够容量为装该商品，但装了也不一定能够达到最优解，在装与不装中选择最优的那个
v(i,j) = max{v(i-1,j);v(i-1;j-w(i)+v(i))} {装不了;装了}
下面我们列一个相关的表格 i为前i个最佳组合，j为当前背包容量，表格中意味着，当前的最大价值

i/j	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	3	3	3	3	3	3
2	3	4	4	7	7	7	7
3	3	4	5	7	8	8	9
4	3	4	5	7	8	9	10

    /**
     * 
     * @param capacity 背包容量
     * @param number 有几个物品
     * @param weight 物品重量数组
     * @param dp dp数组
     * @param value 物品价值数组
     */
    void findMax(int capacity, int number, int[] weight, int[][] dp, int[] value) {
        int i, j;//j为背包剩余容量，i为第i个物品

        //第0行我们统一填的0
        for (i = 1; i < number; i++) {
            for (j = 1; j <= capacity; j++) {
                //如果包装不进的话
                if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                else {
                    //能装的话
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], (dp[i - 1][j - weight[i]]) + value[i]);
                }
            }
        }
    }

（7）仅仅把表格填完，最优解就是dp[4][8] = 10 ，需要回溯找出解的组成

① dp[i][j] == dp[i-1][j] 时，证明没有选择该i个商品，这个时候去到dp[i-1][j]
② dp[i][j] == dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]时，说明装了第i个商品，该商品为最优解的一部分，所以我们需要回溯到包装前dp[i-1][j-weight[i]]
③ 一直遍历到i=0结束为止，所有解的组成都能够找到

   /**
     * 
     * @param i 前i个商品
     * @param j 体积
     * @param dp 上一步得到的动态规划数组
     */
    void findWhat(int i , int j,int[][] dp ){
            if (i>=0){
                if (dp[i][j]==dp[i-1][j])//没变
                {
                    item[i]=0;//全局变量标记未选中
                    findWhat(i-1,j,dp);
                }else if (j-weight[i]>0&&dp[i][j]==dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]){
                    item[i]=1;//标记已经被选中
                    findWhat(i-1,j-weight[i],dp);
                }
            }
    }

总结

这是动态规划一类比较经典的问题，很多都可以转换成为背包问题来解决，但背包问题也有很多变种，之前看过一篇pdf背包九讲，讲的很详细。希望能给你带来帮助哈

ps:最近太忙惹都没时间更新博客都调时间更新的呜呜呜呜呜太难惹

01 背包问题初识

前情提要

什么是01背包

思路详情

总结