函数逼近（一）

生活中，人们常会用到估计，“目测他不到1米8，大概体重在60千克......”，有人估得准，有人会偏差大些。

勿论谁准，他们有一个共同特点，即都是通过光（大数据）结合眼睛（工具）提取信息（数据）, 送进大脑（模型）分析，而后作出估计，对吗？

现在的人工智能AI技术，其实也只是做了这样一件简单的事，您把上面粗体字替换成括号内字甚至可能就是它的全过程，只是它不知累且猜得相对精准一些罢了。

就这么一个简单的过程，如果深究下去，会发现，其实各个环节都会非常非常的复杂？需要物理（光）、医学（眼）、脑科学（脑）.......各种知识，智能作罢吧！

那么如何去繁从简，高度抽象呢？这种任务自然落到了数学的头上，数学把这一系列复杂过程统统抽象称为复杂函数。

然后派一些数学家（民工）去研究各种简单函数，诸如多项式、三角函数、指数函数......等等。历经千年，几十代民工（数学家）的共同努力，多项式的性质最先被研究得差不多了，据说简单、好用！

此时，来了一位聪明绝顶的项目经理Lagrange同学，他在多项式项目组里。

为了赶工程、抢进度，争得头筹，愣是一顿“胡拼乱凑”（和鄙人的代码一样）......

就这样函数逼近的第一个Demo就出来了......

当然是名垂青史，后人冠之为拉格朗日(Lagrange)插值多项式！

（为什么说他“胡拼乱凑”，因为下面有些人可能会看晕吐，但保证，坚持到最后的，一定会有收获~）。

多项式

先有个概念：

形如

的式子称为一元多项式，简称多项式，若最高次项系数 $a_n \neq 0$ ，则称为 $n$ 次多项式。

插值多项式

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的 $m 1$ 个不同点 $x_0,x_1,...,x_m$ 上的函数值 $f(x_i)$ 和若干阶导数值 $f^{(j)}(x_i) (i=0,1,2,...m,j=1,2,...n_i)$ 是已知的，其中 $m 1 \sum_{i=0}^{m}n_i=n 1$ ，

即总共知道 $n 1$ 个已知条件。

若存在一个 $n$ 次多项式 $p_n(x)$ ，满足如下的插值条件

则称 $p_n(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上关于插值节点 $x_0,x_1,...x_m$ 的 $n$ 次插值多项式, 而

称为插值余项

例如, 在 $x_0,x_1,x_2,x_3$ 四个点处(即 $m=3$ ),已知 $f(x)$ 的函数值和若干阶导数值如下表:

	$x_0$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$m_j$
$j=0$	$f(x_0)$	$f(x_1)$	$f(x_2)$	$f(x_3)$	4
$j=1$	$f'(x_0)$	---	$f'(x_2)$	$f'(x_3)$	3
$j=2$	$f''(x_0)$	---	$f''(x_2)$	$f''(x_3)$	3
$j=3$	---	---	$f'''(x_2)$	---	1
$n_i$	2	0	3	2	$n 1=11$