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算法

卡特兰数 Catalan Number

卡特兰数可用下式算出（法1）

卡特兰数递推式（法2） 卡特兰数是符合以下公式的数列

上式推导方法参见96. 不同的二叉搜索树，首先可以注意到本题相当于满足编号中序遍历为1-n的二叉树的个数，又相当于n个相同点组成二叉树的个数。

做法是DP，集合为n个点时不同的二叉搜索树，属性为数量，sum 左右子树的可能种数之积。

卡特兰数适用的问题

相同 n 个点组成的不同二叉树的个数
中序遍历为 1-n 的二叉树的个数
节点值为 1-n 的二叉搜索树的个数
n对( )的合法组合（栈）
n个0，n个1，条件：任何前缀中0的个数不少于1的个数
1, 2, ···, n 合法的进栈出栈序列的个数
不同的操作序列 -> 不同的排列

所以卡特兰数可以转化为求组合数的问题

补充：杨辉三角 $C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}$

// n 比较小的时候，杨辉三角，递推 O(n^2)

// n 在10e5 质数 乘法逆元 O(nlogn)

// n 在10e18 lucas 定理

// 高精度 阶乘分解

最简单的方法，用Python和java写，方便解决大数。

n = int(input())
# catalan number: C_2n^n/(n+1) 所以要2*n
C = [[0]*(2*n+1) for _ in range(2*n+1)]

for i in range(0, 2*n+1):
   for j in range(0, i+1):
       if not j:
           C[i][j] = 1
       else:
           C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1]
   
print(C[2*n][n]//(n+1))

Re：从零开始的算法学习

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