定期写点数学。类域论的中心定理Kronecker-Weber，是说abelian extension可嵌入cyclotomic extension，但没给出具体嵌入。其实，可具体研究。Kronecker-Weber可从Stickelberger证，Stickelberger可从Gauss sum证。Stickelberger关注Gauss sum在分圆域的分解，可推出与L-函数相关的结论，可进一步扩展为Rubin-Stark猜想。
先看经典的解方程。
一、先解个七次方程
五次及以上的方程没有通用的求根公式。不过，某些高次方程可以用初等方法解。
例如，解个七次方程：。
大家会说，这还用解吗？令 ，方程的一个解是
，所有解是
。
但，这不足够。我们希望用加减乘除和开根号表达 ，这才叫“求根公式”。
令:
注意 。根据三角函数公式
，
。
整理后得：
这是四次方程，可以套求根公式。不过可以再简化。
注意 也满足
，所以
也是这个四次方程的根。
的确：。
于是只需解三次方程 。最终结果很复杂：
二、更高次的简单方程
更高次的 是否还有求根公式？
Vandermonde 在 35 岁时（1770年）解了 ，答案是
，其中：
其它 也长得差不多。
Gauss 在 18 岁时（1795年）解了 ，其中只有开平方，所以可以用尺规作图。这个方程的实根是：
后来 Gauss 证明了所有 都可以用加减乘除和开根号解。
让我们考虑这里的关键。注意 的根总可写成
，其中
可称为原根。
拥有非常好的性质：
构成了循环。这是我们能把
解出来的重要原因。
那么，是否可借助 的威力，解其它方程？这是一种重要思想。这就是嵌入分圆域，就是Kronecker-Weber。
实际上，Lagrange 在 1771 年提出，的确可用这种方法解三次和四次方程。下面看三次方程的情况。
三、解三次方程
令 的解为
。
考虑一个很对称的式子：
此时 的解显然是
。
注意 在 Galois 作用
下不变。这种方法叫 Lagrange resolvent，实际是考虑
的离散傅里叶变换。
如果明确写出：
那么展开得到：
注意 恰好消失了（这可用 Galois 理论解释）。
令我们需解的方程为 ，比较系数得
，
，因此：
而这是关于 的二次方程，我们知道怎么解。
在解出 后，
的解就是
。
类似的方法可用于解四次方程（复杂很多）。遗憾的是，这对于一般五次方程失效了，此时我们会发现，最终需要解六次方程。
不过，像 这样的特殊五次方程是可以解的，例如
。这就涉及 Galois 理论，后续再谈。
