LeetCode每日一题分之一，但是当边长N等于奇数的时候，无法均匀分成四部分，有一部分元素在边线上，边线的元素只能有一

题目

给你一幅由 N × N 矩阵表示的图像，其中每个像素的大小为 4 字节。请你设计一种算法，将图像旋转 90 度。
不占用额外内存空间能否做到？

题目分析

题目中没有给出逆时针还是顺时针旋转，我们这里规定顺时针旋转 $90^o$
本题目我使用旋转交换的方法，使用一个元素大小的额外空间
推一下元素交换后坐标的变化，官方解题或者其他博客用的是观察法，但是观察法非常容易忘，所以就推一下:
设一个元素A的坐标是(i, j),转换为极坐标是 $(rcos\theta, rsin\theta)$ ,瞬时针旋转 $\theta_1$ ,坐标变为 $(rcos(\theta-\theta_1), rsin(\theta - \theta_1))$ ,展开后变成了 $(rcos\theta cos\theta_1 + rsin\theta sin\theta_1 , rsin\theta cos\theta_1 - rsin\theta_1 cos\theta)$ , 可以看做：系数矩阵*原坐标=新坐标

\left[\begin{matrix}cos\theta_1 & sin\theta_1\\
-sin\theta_1 & cos\theta_1\end{matrix}\right] * \left[\begin{matrix}rcos\theta\\
sin\theta\end{matrix}\right]

当 $\theta_1$ = $-90^o$ 的时候，系数矩阵变成了

\left[\begin{matrix}0 & -1\\
1 & 0\end{matrix}\right] * \left[\begin{matrix}rcos\theta\\
rsin\theta\end{matrix}\right]

换回笛卡尔坐标系：

\left[\begin{matrix}0 & -1\\
1 & 0\end{matrix}\right] * \left[\begin{matrix}i\\
j\end{matrix}\right]

变换后得到的是(-j,i),由于代码中的索引和矩阵的元素位置不是同一形式，当坐标是负值的时候，变换为N-1-j，N-1-j再乘以负值就是j，所以变换的坐标为:

(i,j) 移动到(N-1-j, i)
(N-1-j, i) 移动到 (N-1-i,N-1-j)
(N-1-i,N-1-j)移动到(j, N-1-i)
(j, N-1-i)移动到(i,j)

代码实现

   public void rotate(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        // 外层循环遍历到中间位置，奇数边长包含中间位置。
        for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
            // 内层循环遍历到中间位置，奇数边长不包含中间位置。
            for (int j = 0; j < (n + 1) / 2; j++) {
                int tmp = martix[i][j];
                matrix[i][j] = matrix[n-1-j][i];
                matrix[n-1-j][i] = matrix[n-1-i][n-1-j];
                matrix[n-1-i][n-1-j] = matrix[j][n-1-i];
                matrix[j][n-1-i] = tmp;
            }
        }
    }

代码分析

问题：为什么外层遍历的次数是n/2,内层的遍历次数(n+1)/2？

外层和内层的遍历次数可以互换，矩阵的元素旋转只需要考虑四分之一，但是当边长N等于奇数的时候，无法均匀分成四部分，有一部分元素在边线上，边线的元素只能有一个边属于该部分。当n是偶数的时候，n/2和(n+1)/2相等，当n是奇数的时候，(n+1)/2比n/2大1，就是这四分之一部分包括一条边线，不包括另一条。