递归（上）

递归的相关知识，内容包括什么是递归、任意进制转换、递归调用的实现、分形树、谢尔宾斯基三角形、汉诺塔、探索迷宫。

一、什么是递归

1. 什么是递归Recursion？

递归是一种解决问题的方法，其精髓在于

• 将问题分解为规模更小的相同问题，持续分解，直到问题规模小到可以用非常简单直接的方式来解决。
• 递归的问题分解方式非常独特，其算法方面的明显特征就是：在算法流程中调用自身。

递归为我们提供了一种对复杂问题的优雅解决方案，精妙的递归算法常会出奇简单，令人赞叹。

2. 初识递归：数列求和

问题：给定一个列表，返回所有数的和

• 列表中数的个数不定，需要一个循环和一个累加变量来迭代求和

程序很简单，但假如没有循环语句？

• 既不能用for，也不能用while，还能对不确定长度的列表求和么？

我们认识到求和实际上最终是由一次次的加法实现的，而加法恰有2个操作数，这个是确定的。

看看怎么想办法，将问题规模较大的列表求和，分解为规模较小而且固定的2个数求和（加法）？

同样是求和问题，但规模发生了变化，符合递归解决问题的特征！

换个方式来表达数列求和：全括号表达式

(1+(3+(5+(7+9))))

上面这个式子，最内层的括号(7+9)，这是无需循环即可计算的，实际上整个求和的过程是这样：

观察上述过程中所包含的重复模式，可以把求和问题归纳成这样：

• 数列的和=“首个数”+“余下数列”的和

如果数列包含的数少到只有1个的话，它的和就是这个数了

• 这是规模小到可以做最简单的处理

上面的递归算法变成程序

上面程序的要点：

1. 问题分解为更小规模的相同问题，并表现为“调用自身”
2. 对“最小规模”问题的解决：简单直接

2. 递归程序如何被执行？

递归函数调用和返回过程的链条

3. 递归“三定律”

为了向阿西莫夫的“机器人三定律”致敬，递归算法也总结出“三定律”

1. 递归算法必须有一个基本结束条件（最小规模问题的直接解决）
2. 递归算法必须能改变状态向基本结束条件演进（减小问题规模）
3. 递归算法必须调用自身（解决减小了规模的相同问题）

4. 递归“三定律”：数列求和问题

数列求和问题首先具备了基本结束条件：当列表长度为1的时候，直接输出所包含的唯一数

数列求和处理的数据对象是一个列表，而基本结束条件是长度为1的列表，那递归算法就要改变列表并向长度为1的状态演进

• 我们看到其具体做法是将列表长度减少1。

调用自身是递归算法中最难理解的部分，实际上我们理解为“问题分解成了规模更小的相同问题”就可以了，在数列求和算法中就是“更短数列的求和问题”

二、递归的应用：任意进制转换

1. 整数转换为任意进制

这个在数据结构栈里讨论过的算法，又回来了！

• 递归和栈，一定有关联

如果上次你被“入栈”“出栈”搞得挺晕乎的话，这次递归算法一定会让你感到清新，而且这次我们要解决从二进制到十六进制的任意进制转换

我们用最熟悉的十进制分析下这个问题

• 十进制有十个不同符号：convString = "0123456789"
• 比十小的整数，转换成十进制，直接查表就可以了：convString[n]
• 想办法把比十大的整数，拆成一系列比十小的整数，逐个查表
• 比如七百六十九，拆成七、六、九，查表得到769就可以了

所以，在递归三定律里，我们找到了“基本结束条件”，就是小于十的整数

• 拆解整数的过程就是向“基本结束条件”演进的过程

我们用整数除，和求余数两个计算来将整数一步步拆开

• 除以“进制基base”（// base）
• 对“进制基”求余数（% base）

问题就分解为：

• 余数总小于“进制基base”，是“基本结束条件”，可直接进行查表转换
• 整数商成为“更小规模”问题，通过递归调用自身解决

2. 整数转换为任意进制：代码

下面就是递归算法的代码

三、递归调用的实现

1. 递归调用的实现

当一个函数被调用的时候，系统会把调用时的现场数据压入到系统调用栈

每次调用，压入栈的现场数据称为栈帧

当函数返回时，要从调用栈的栈顶取得返回地址，恢复现场，弹出栈帧，按地址返回。

2. Python中的递归深度限制

在调试递归算法程序的时候经常会碰到这样的错误：RecursionError

• 递归的层数太多，系统调用栈容量有限

这时候要检查程序中是否忘记设置基本结束条件，导致无限递归,或者向基本结束条件演进太慢，导致递归层数太多，调用栈溢出

在Python内置的sys模块可以获取和调整最大递归深度

3. 递归的故事

前目的地.Predestination.2014

• 自身产生自身的闭环烧脑递归

恐怖游轮.Triangle.2009

• 调用栈栈帧大混合，如何才能终结一切，返回主函数？

四、递归可视化：分形树

1. 递归可视化：图示

前面的种种递归算法展现了其简单而强大的一面，但还是难有个直观的概念

下面我们通过递归作图来展现递归调用的视觉影像

Python的海龟作图系统turtle module

• Python内置，随时可用，以LOGO语言的创意为基础
• 其意象为模拟海龟在沙滩上爬行而留下的足迹爬行：

1. 爬行：forward(n); backward(n)
2. 转向：left(a); right(a)
3. 抬笔放笔：penup(); pendown()
4. 笔属性：pensize(s); pencolor(c)

2. 海龟作图

3. 一个递归作图的例子：螺旋

4. 分形树：自相似递归图形

分形Fractal，是1975年由Mandelbrot开创的新学科。“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。

自然界中能找到众多具有分形性质的物体

• 海岸线、山脉、闪电、云朵、雪花、树

自然界不是平滑的

自然现象中所具备的分形特性，使得计算机可以通过分形算法生成非常逼真的自然场景

分形是在不同尺度上都具有相似性的事物

我们能看出一棵树的每个分叉和每条树枝，实际上都具有整棵树的外形特征（也是逐步分叉的）

这样，我们可以把树分解为三个部分：树干、左边的小树、右边的小树

• 分解后，正好符合递归的定义：对自身的调用

五、递归可视化：谢尔宾斯基三角形

1. 谢尔宾斯基Sierpinski三角形

分形构造，平面称谢尔宾斯基三角形，立体称谢尔宾斯基金字塔

实际上，真正的谢尔宾斯基三角形是完全不可见的，其面积为0，但周长无穷，是介于一维和二维之间的分数维（约1.585维）构造。

2. 谢尔宾斯基三角形：作图思路

根据自相似特性，谢尔宾斯基三角形是由3个尺寸减半的谢尔宾斯基三角形按照品字形拼叠而成

由于我们无法真正做出谢尔宾斯基三角形（degree->∞），只能做degree有限的近似图形。

在degree有限的情况下，degree=n的三角形，是由3个degree=n-1的三角形 按照品字形拼叠而成

同时，这3个degree=n-1的三角形边长均为degree=n的三角形的一半（规模减小）。当degree=0，则就是一个等边三角形，这是递归基本结束条件

3. 谢尔宾斯基三角形：代码

4. degree=5的三角形

六、递归的应用：汉诺塔

1. 复杂递归问题：汉诺塔

汉诺塔问题是法国数学家Edouard Lucas于1883年，根据传说提出来的。

传说在一个印度教寺庙里，有3根柱子，其中一根套着64个由小到大的黄金盘片，僧侣们的任务就是要把这一叠黄金盘从一根柱子搬到另一根，但有两个规则：

• 一次只能搬1个盘子
• 大盘子不能叠在小盘子上

神的旨意说一旦这些盘子完成迁移寺庙将会坍塌，世界将会毁灭……神的旨意是千真万确的！

2. 汉诺塔问题：3盘片演示

3. 汉诺塔问题

虽然这些黄金盘片跟世界末日有着神秘的联系，但我们却不必太担心，据计算，要搬完这64个盘片：

• 需要的移动次数为 264-1 = 18,446,744,073,709,551,615次
• 如果每秒钟搬动一次，则需要584,942,417,355（五千亿）年！

我们还是从递归三定律来分析河内塔问题

1. 基本结束条件（最小规模问题）
2. 如何减小规模
3. 调用自身

4. 汉诺塔问题：分解为递归形式

假设我们有5个盘子，穿在1#柱，需要挪到3#柱

• 如果能有办法把最上面的一摞4个盘子统统挪到2#柱，那问题就好解决了：
• 把剩下的最大号盘子直接从1#柱挪到3#柱
• 再用同样的办法把2#柱上的那一摞4个盘子挪到3#柱，就完成了整个移动

5. 汉诺塔问题：分析

接下来问题就是解决4个盘子如何能从1#挪到2#？

• 此时问题规模已经减小！
• 同样是想办法把上面的一摞3个盘子挪到3#柱，
• 把剩下最大号盘子从1#挪到2#柱
• 再用同样的办法把一摞3个盘子从3#挪到2#柱

一摞3个盘子的挪动也照此：分为上面一摞2个，和下面最大号盘子

• 那么2个盘子怎么移动？
• 不行，就再分解为1个盘子的移动

6. 汉诺塔问题：递归思路

将盘片塔从开始柱，经由中间柱，移动到目标柱：

1. 首先将上层N-1个盘片的盘片塔，从开始柱，经由目标柱，移动到中间柱；
2. 然后将第N个（最大的）盘片，从开始柱，移动到目标柱；
3. 最后将放置在中间柱的N-1个盘片的盘片塔，经由开始柱，移动到目标柱。

基本结束条件，也就是最小规模问题是：1个盘片的移动问题

上面的思路用Python写出来，几乎跟语言描述一样：

7. 汉诺塔问题：代码

七、探索迷宫

1. 探索迷宫：古希腊的迷宫

古希腊克里特岛米诺斯王

• 牛头人身怪物米诺陶洛斯
• 童男童女献祭，雅典王子忒修斯
• 公主，利剑，线团
• 老国王投海……爱琴海

2. 探索迷宫：圆明园的黄花阵

位于圆明园西洋楼景区

3. 探索迷宫

将海龟放在迷宫中间，如何能找到出口

首先，我们将整个迷宫的空间（矩形）分为行列整齐的方格，区分出墙壁和通道。

• 给每个方格具有行列位置，并赋予“墙壁”、“通道”的属性

4. 迷宫的数据结构

考虑用矩阵方式来实现迷宫数据结构

• 采用“数据项为字符列表的列表”这种两级列表的方式来保存方格内容
• 采用不同字符来分别代表“墙壁+”、“通道 ”、“海龟投放点S”
• 从一个文本文件逐行读入迷宫数据

5. 迷宫的数据结构：Maze Class

读入数据文件成功后，mazelist如下图示意

mazelist[row][col]=='+'

6. 探索迷宫：算法思路

确定了迷宫数据结构之后，我们知道，对于海龟来说，其身处某个方格之中

它所能移动的方向，必须是向着通道的方向。如果某个方向是墙壁方格，就要换一个方向移动

这样，探索迷宫的递归算法思路如下：

1. 将海龟从原位置向北移动一步，以新位置递归调用探索迷宫寻找出口；
2. 如果上面的步骤找不到出口，那么将海龟从原位置向南移动一步，以新位置递归调用探索迷宫；
3. 如果向南还找不到出口，那么将海龟从原位置向西移动一步，以新位置递归调用探索迷宫；
4. 如果向西还找不到出口，那么将海龟从原位置向东移动一步，以新位置递归调用探索迷宫；
5. 如果上面四个方向都找不到出口，那么这个迷宫没有出口！

思路看起来很完美，但有些细节至关重要

• 如果我们向某个方向（如北）移动了海龟，如果新位置的北正好是一堵墙壁，那么在新位置上的递归调用就会让海龟向南尝试
• 可是新位置的南边一格，正好就是递归调用之前的原位置，这样就陷入了无限递归的死循环之中

所以需要有个机制记录海龟所走过的路径

• 沿途洒“面包屑”，一旦前进方向发现“面包屑”，就不能再踩上去，而必须换下一个方向尝试
• 对于递归调用来说，就是某方向的方格上发现“面包屑”，就立即从递归调用返回上一级。

递归调用的“基本结束条件”归纳如下：

1. 海龟碰到“墙壁”方格，递归调用结束，返回失败；
2. 海龟碰到“面包屑”方格，表示此方格已访问过，递归调用结束，返回失败；
3. 海龟碰到“出口”方格，即“位于边缘的通道”方格，递归调用结束，返回成功！
4. 海龟在四个方向上探索都失败，递归调用结束，返回失败

7. 探索迷宫：辅助的动画过程

为了让海龟在迷宫图里跑起来，我们给迷宫数据结构Maze Class添加一些成员和方法

1. t：一个作图的海龟，设置其shape为海龟的样子（缺省是一个箭头）
2. drawMaze()：绘制出迷宫的图形，墙壁用实心方格绘制
3. updatePosition(row, col, val)：更新海龟的位置，并做标注
4. isExit(row, col)：判断是否“出口”

「资料来源：数据结构与算法Python版-陈斌」