离散数学-代数系统

Suarne
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写在前面

代数系统研究面相较以前更广泛了，不再仅局限于数字计算，每一种计算有可能不满足交换律或结合律，学习本内容需要抛弃以往的思维定式: ++不一定是数字加，也有可能是字符加(类比于高级语言中的面向对象思想)，对于每一种代数系统都需要从定义出发，掌握基础很重要

一、代数系统

  1. 二元运算

    定义：设 SS 为非空集合，函数 f：S×S→Sf：S\times S \rightarrow S 称为 SS 上的二元运算，简称为二元运算，也称 SS 对 ff 封闭。（例如在自然数集合上++为封闭、−-并不是，0-1不属于自然数）

    性质：设 ∘\circ 为 SS 上的二元运算，针对任意元素满足的运算关系，有交换律、结合律、幂等律、分配律、吸收律等关系(注意元素顺序是否可逆)

    Ps. 为了区别以往的思维，在讨论本内容通常将 f(a∘b)=cf(a \circ b) = c 表示成 a∘b=ca \circ b = c 意义是 aa 对 bb 上的左复合(左右运算有别，想一想以前的二元函数 xx、yy 对调结果)运算得到 cc，从运算的角度分析映射

  2. 代数系统

    定义：一个非空集合 AA，连同若干个定义在该集合上的运算 f1，f2，…，fnf_1，f_2，\ldots，f_n 所组成的系统，称为一个代数系统，简称代数，记为：<A，f1，f2，…，fn><A，f_1，f_2，\ldots，f_n> (关键在于非空、封闭性，代数系统更多地是关注不同的运算导致不同的结果，集合不是讨论的重点)

  3. 三个特殊元素

    （1）幺元(单位元)：

    定义：设 ∘\circ 为 SS 上的二元运算，若存在 ele_l (或 ere_r )∈S\in S，使得任意 x∈Sx \in S 都有 el∘x=xe_l \circ x = x (或 x∘er=xx \circ e_r = x )，则称 ele_l (或 ere_r )是 SS 中关于 ∘\circ 运算的左(右)单位元，若该元素既是左单位元，又是右单位元，那么称为单位元(幺元)

    例如：在<P(A),∪><P(A) , \cup>中, ∅\varnothing是幺元；在<P(A),∩><P(A) , \cap>中, AA是幺元

    （2）零元：

    定义：设 ∘\circ 为 SS 上的二元运算，若存在 ele_l (或 ere_r )∈S\in S，使得任意 x∈Sx \in S 都有 el∘x=ele_l \circ x = e_l (或 x∘er=erx \circ e_r = e_r )，则称 ele_l (或 ere_r )是 SS 中关于 ∘\circ 运算的左(右)零元，若该元素既是左零元，又是右零元，那么称为零元

    例如：在<R,×><R , \times>中, 0是零元；在<R,+><R , +>中, 不存在零元 判断二元关系

    恒等关系：自反、对称、反对称、传递

    等价关系：自反、对称、传递

    拟序关系：反自反、传递

    偏序关系：自反、反对称、传递

    全序(线序)关系：在偏序关系的基础上，集合(非∅\varnothing)内的任意两个元素都互相可比

    良序关系：在偏序关系的基础上，任何一个非空子集都有最小元

二、运算律

设 ∘\circ 和 ++ 是非空集合 SS 上的二元代数运算，a、b、ca、b、c 是集合 SS 上的任意三个元素

  1. 交换律(Abel)

    若 a∘b=b∘aa \circ b = b \circ a，则称运算 ∘\circ 满足交换律

  2. 结合律(Catalan)

    若 (a∘b)∘c=a∘(b∘c)(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)，则称运算 ∘\circ 满足结合律

  3. 分配律(DMogan)

    若 a∘(b+c)=(a∘b)+(a∘c)a \circ (b + c) = (a \circ b) + (a \circ c)，(b+c)∘a=(b∘a)+(c∘a)(b + c) \circ a = (b \circ a) + (c \circ a)，则称运算 ∘\circ 对 ++ 满足分配律

  4. 消去律(Witt)

    若 a∘b=a∘ca \circ b = a \circ c，则 b=cb = c；b∘a=c∘cb \circ a =c \circ c，则 b=cb = c，称运算 ∘\circ 满足消去律，实质上是乘上一个 a−1a^{-1}，主要原因是元素可逆

  5. 等幂律

    若 ∀x∈S\forall x \in S，有 x∘x=xx \circ x = x，则称运算 ∘\circ 满足等幂律

  6. 吸收律

    若 a∘(a+b)=aa \circ (a + b) = a，a+(a∘b)=aa + (a \circ b) = a 都成立，则称运算 ∘\circ 和 ++ 满足吸收律

三、群与半群

  1. 半群

    • 定义：设 V=<S，∘>V = <S，\circ> 是代数系统，∘\circ 为二元运算，若 ∘\circ 运算是封闭的、可结合的，则称 VV 为半群，例如：<R，+><R，+>

    • 定义：设 V=<S，∘>V = <S，\circ> 是半群，

      （1）若 ∘\circ 是可交换的，则称 VV 为交换半群

      在乘法阿贝尔(交换)群当中：aman=am+n；(an)m=anm；(ab)n=anbna^ma^n = a^{m+n}；(a^n)^m = a^{nm}；(ab)^n = a^nb^n成立条件是交换律成立；单位元表示为 11，逆元表示为 a−1a^{-1}

      在加法阿贝尔(交换)群当中：aman=(m+n)a=ma+na；(an)m=m(na)=(mn)a；(ab)m=m(a+b)=ma+mb；a^ma^n = (m+n)a = ma+na；(a^n)^m =m(na) = (mn)a；(ab)^m = m(a+b) = ma+mb； 单位元表示为 00，逆元表示为−a-a (注意这里面的 am=ma=a+a+⋯+aa^m = ma = a+a+\dots+a(mm个))

      （2）若 e∈Se \in S 是关于 ∘\circ 运算的单位元，则称 VV 是含幺半群，也称独异点，记作 V=<S，∘，e>V = <S，\circ，e>

      例如：<Z−n，⊕，0><Z-n，\oplus，0> 为交换半群和独异点，其中 Zn={0，1，…，n−1}Z_n = \{ 0，1，\ldots，n-1 \}，⊕\oplus 为模 nn 加法；<AA，∘，IA><A^A，\circ，I_A> 为独异点，不是交换半群，其中 ∘\circ 为函数的复合运算

    • 定义：半群的子代数称为子半群，独异点的子代数称为子独异点

      设 V=<S，∘>V = <S，\circ> 为半群，TT 是 VV 的子半群当且仅当 TT 对 ∘\circ 运算封闭判断方法：设 V=<S，∘，e>V = <S，\circ，e> 为独异点，TT 是 VV 的子独异点当且仅当 TT 对 ∘\circ 运算封闭，且 e∈Te\in T

  2. 循环半群

    • 定义：在半群 <S，∘><S，\circ> 中，若存在一个元素使得 a∈Sa \in S，使得 ∀x∈S\forall x \in S，都有 x=anx = a^n，其中 n∈Z+n \in Z^+，则称该半群为循环半群，且 aa 为该循环半群的一个生成元，M={a∣(a∈S)M = \{ a | (a \in S)且 aa 是 SS 的生成元}\} 称为该循环半群的生成集
    • 定义：在含幺半群 <S，∘><S，\circ> 中，若存在一个元素使得 a∈Sa \in S，使得 ∀x∈S\forall x \in S，都有 x=anx = a^n，其中 n∈Nn \in N，则称该含幺半群为循环含幺半群，且 aa 为该循环半群的一个生成元，M={a∣(a∈S)M = \{ a | (a \in S)且 aa 是 SS 的生成元}\} 称为该循环含幺半群的生成集

  3. 群

    定义：设 <G，∘><G，\circ> 是代数系统，∘\circ 为二元运算，若 ∘\circ 运算是可结合的，存在单位元 e∈Ge \in G，且对 GG 中任何元素 xx 都有 x∘x−1=ex \circ x^{-1} = e，则称 <G，∘><G，\circ> 为群

    Ps.验证一个代数系统是否为群，只需要逐个证明：集合非空、封闭性(∀a, b∈G, a ∘ b∈G\forall a, \, b \in G, \, a \, \circ \, b \in G)、结合律(a ∘ (b ∘ c)=(a ∘ b) ∘ ca \, \circ \, (b \, \circ \, c) = (a \, \circ \, b) \, \circ \, c)、有幺元(e ∘ x=x ∘ e=xe \, \circ \, x = x \, \circ \, e = x)、每个元素有逆元(∀x∈G, x ∘ x−1=e\forall x \in G, \, x \, \circ \, x^{-1} = e)

    • 群 GG 所包含元素的个数称为群 GG 的阶(∣G∣=n|G| = n)

    • 若一个群中的二元运算是可交换的，则称 GG 为交换群或阿贝尔群

    • 设 GG 是群，∀x∈G\forall x \in G，使得等式 xk=ex^k = e 成立的最小正整数 kk 称为 xx 的阶(或周期)，记作 ∣x∣=k|x| = k，称 xx 为 kk 阶元，若不存在这样的正整数 kk，则称 xx 为无限阶元

      例如：<Zn，⊕><Z_n，\oplus> 其中 ⊕\oplus 是模运算 {n=5，n=6\begin{cases} n=5，\\ n = 6 \end{cases}

      分析：在这其中幺元是0，

      当 n=5n = 5 时，利用等式 xk=ex^k = e 算出5个元素的各自阶，

      ∣0∣=0 mod 5→1阶|0| = 0 \, mod \, 5 \rightarrow 1阶

      ∣1∣⊕∣1∣⊕∣1∣⊕∣1∣⊕∣1∣=0 mod 5→5阶|1|\oplus|1|\oplus|1|\oplus|1|\oplus|1| = 0 \, mod \, 5 \rightarrow 5阶[为什么一定要模5加运算，因为若k=4，模的结果是4，而不是0(幺元)]

      ∣2∣⊕∣2∣⊕∣2∣⊕∣2∣⊕∣2∣=0 mod 5→5阶|2|\oplus|2|\oplus|2|\oplus|2|\oplus|2| = 0 \, mod \, 5 \rightarrow 5阶

      ∣3∣⊕∣3∣⊕∣3∣⊕∣3∣⊕∣3∣=0 mod 5→5阶|3|\oplus|3|\oplus|3|\oplus|3|\oplus|3| = 0 \, mod \, 5 \rightarrow 5阶

      ∣4∣⊕∣4∣⊕∣4∣⊕∣4∣⊕∣4∣=0 mod 5→5阶|4|\oplus|4|\oplus|4|\oplus|4|\oplus|4| = 0 \, mod \, 5 \rightarrow 5阶

      当 n=6n = 6时，利用等式 xk=ex^k = e 算出6个元素的各自阶，

      ∣0∣=0 mod 6→1阶|0| = 0 \, mod \, 6 \rightarrow 1阶

      ∣1∣⊕∣1∣⊕∣1∣⊕∣1∣⊕∣1∣⊕∣1∣=0 mod 6→6阶|1|\oplus|1|\oplus|1|\oplus|1|\oplus|1|\oplus|1| = 0 \, mod \, 6 \rightarrow 6阶

      ∣2∣⊕∣2∣⊕∣2∣=0 mod 6→3阶|2|\oplus|2|\oplus|2| = 0 \, mod \, 6 \rightarrow 3阶

      ∣3∣⊕∣3∣=0 mod 6→2阶|3|\oplus|3| = 0 \, mod \, 6 \rightarrow 2阶

      ∣4∣⊕∣4∣⊕∣4∣=0 mod 6→3阶|4|\oplus|4|\oplus|4| = 0 \, mod \, 6 \rightarrow 3阶

      ∣5∣⊕∣5∣⊕∣5∣⊕∣5∣⊕∣5∣⊕∣5∣=0 mod 6→6阶|5|\oplus|5|\oplus|5|\oplus|5|\oplus|5|\oplus|5| = 0 \, mod \, 6 \rightarrow 6阶

    • GG 为群，∀a, b∈G\forall a, \, b \in G，方程 ax=bax=b和ya=bya =b在GG中有解且仅有唯一解

    • GG 为群，且有消去律(左消去和右消去)

  4. 子群及其判定

    • 定义：设 GG 是群，HH 是 GG 的非空子集，若 HH 关于 GG 中的运算构成群，则称 HH 是 GG 的子群，记作 H≤GH \leq G；若 HH 是 GG 的子群，且 H⊂GH \subset G，则称 HH 为 GG 的真子群，记作 H<GH < G
    • 定义：对任何群 GG 都存在子群，GG 和 {ee} 都是 GG 的子群，则称为 GG 的平凡子群

    子群判定定理：

    ​ （1）设 GG 为群，HH 是 GG 的非空子集。HH 是 GG 的子群当且仅当 ∀x，y∈H\forall x，y \in H有 xy−1∈Hxy^{-1} \in H(一般性定理)

    ​ （2）设 <G，∗><G，*>为群，HH 是 GG 的非空子集。HH 是 GG 的子群当且仅当 ∀a, b∈H\forall a, \, b \in H有a∗b−1∈Ha*b^{-1} \in H(封闭、最常用)

    ​ （3）设 <G，∗><G，*>为群，HH 是 GG 的有穷非空子集。HH 是 GG 的子群当且仅当 ∀a, b∈H\forall a, \, b \in H有a∗b∈Ha*b \in H

    生成子群：

    ​ 定义：设 GG 为群，a∈Ga \in G，令 H={ak∣ k∈Z}H = \{ a^k| \, k \in Z\}，则 HH 是 GG 的子群，称为由 aa 生成的子群，记作 <a><a>

四、环

定义：设 <R，+，∙><R，+，\bullet>是代数系统，++ 和 ∙\bullet 是二元运算，如果满足以下条件

（1）<R，+><R，+> 构成交换群

（2）<R，∙><R，\bullet>构成半群

（3）∙\bullet 运算关于 ++ 运算适合分配律

则称 <R，+，∙><R，+，\bullet> 是一个环

五、格与布尔代数

  1. 格

    定义：设 <S，≼><S，\preccurlyeq>是偏序集，若 ∀x，y∈S，{x，y}\forall x，y \in S，\{x，y\} 都有最小上界(上确界)和最大下界(下确界)，则称 SS 关于偏序≼\preccurlyeq作成一个格

    定理：设 <S，≼><S，\preccurlyeq> 是格，则运算上确界(∨\lor)和下确界(∧\land)适合交换律、结合律、幂等律、吸收律

  2. 分配格

    定义：设 <L，∧，∨><L，\land，\lor> 是格，若 ∀a，b，c∈L\forall a，b，c\in L，有 a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)a \land(b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)或a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)a\lor(b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c) 则称L为分配格

    定理：设 LL 是格，则 LL 是分配格当且仅当 LL 不含与钻石格或五角格同构的子格，如下图

    钻石格和五角格示意图

  3. 有界格

    定义：设 LL 是格，若存在 a∈La \in L 使得 ∀x∈L\forall x \in L 有 a≼xa \preccurlyeq x，则称 aa 为 LL 的全下界；若存在 b∈Lb \in L 使得 ∀x∈L\forall x \in L 有 x≼bx \preccurlyeq b，则称 bb 为 LL 的全上界(Ps.全上界和全下界一定唯一，一般将全下界记为0，全上界记为1，概念类似最大(小)值，与集合内的所有值都可比)，有界格 LL 记为 <L，∧，∨，0，1><L，\land，\lor，0， 1>

  4. 有补格

    定义：设 <L，∧，∨，0，1><L，\land，\lor，0， 1> 是有界格，a∈La \in L，若存在 b∈Lb \in L 使得 a∧b=0a \land b = 0 且 a∨b=1a \lor b = 1 成立，则称 bb 是 aa 的补元，两者互补(Ps.在哈斯图中是0 ,1之间的元素)，若 LL 中所有元素都有补元，则称 LL 是有补格

  5. 布尔代数

    定义：如果一个格是有补+分配格，则称它为布尔格或布尔代数，记为 <R，∧，∨，′，0，1><R，\land，\lor，'，0， 1>，其中 ′' 为求补运算

参考：

[1].离散数学及其应用第2版: 傅彦，顾小丰，王庆先 2013年版

[2].吉林大学-离散数学（国家级精品课）: www.bilibili.com/video/av593…

[3].简明算术: zhuanlan.zhihu.com/p/82420201

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