股票问题在腾讯和字节跳动的面经里经常被提到，在dp问题中也是经典问题，leetcode里有六个比较经典的相关问题，这里对于这几个问题做一个笔记。
这类问题可以将状态方程抽象为dp[day][times][ishold];
day即第几天，times即第几次买卖股票，ishold标记此时是否留有股票。
问题的最优解发生在dp[n][?][0]时，n为给出的股票市值数组的大小，?是因为交易次数不确定，0很明显只有当最后手里股票都出手时才能利益最大化。
本文中所有代码均为在空间复杂度上优化过的代码，即无数组形式（除了第六题）
第一题 121. 买卖股票的最佳时机
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
注意你不能在买入股票前卖出股票。
示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4] 输出: 5 解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。 注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。
示例 2:
输入: [7,6,4,3,1] 输出: 0 解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
这个题目没啥好说的，很简单的问题，甚至不需要用到dp思路都能解决。
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int profitMax = 0;
int minPrice = INT_MAX;
int size = prices.size();
for(int i=0;i<size;i++){
if(prices[i] < minPrice)
minPrice = prices[i];
else if(profitMax < prices[i] - minPrice)
profitMax = prices[i] - minPrice;
}
return profitMax;
}
};
第二题 122. 买卖股票的最佳时机 II
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4] 输出: 7 解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
示例 2:
输入: [1,2,3,4,5] 输出: 4 解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:
输入: [7,6,4,3,1] 输出: 0 解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
对于交易次数没有限制， 就是对于状态方程的一个简单应用。
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int dpi_0 = 0,dpi_1 = INT_MIN;
int size = prices.size();
for(int i=0;i<size;i++){
int temp = dpi_0;
dpi_0 = max(dpi_0,dpi_1 + prices[i]);
dpi_1 = max(dpi_1,temp - prices[i]);
}
return dpi_0;
}
};
第三题 309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:
输入: [1,2,3,0,2] 输出: 3 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
冷冻期实际上只是对于买入股票做了限定， 可以多设置一个变量dp_pre记录i-2天数时的情况。其他与前面的思路不变。
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int dpi_0 = 0,dpi_1 = INT_MIN,dp_pre = 0,size = prices.size();
for(int i=0;i<size;i++){
int temp = dpi_0;
dpi_0 = max(dpi_0,dpi_1 + prices[i]);
dpi_1 = max(dpi_1,dp_pre - prices[i]);
dp_pre = temp;
}
return dpi_0;
}
};
第四题 714. 买卖股票的最佳时机含手续费
给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每次交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
示例 1:
输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.
含手续费实际上就是加大了买入股票的成本，只需要在买入股票时多减一个fee即可。
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
int dpi_0 = 0,dpi_1 = INT_MIN,size = prices.size();
for(int i=0;i<size;i++){
int temp = dpi_0;
dpi_0 = max(dpi_0,dpi_1 + prices[i]);
dpi_1 = max(dpi_1,dpi_0 - prices[i] - fee);
}
return dpi_0;
}
};
第五题 123. 买卖股票的最佳时机 III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出: 6 解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2:
输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:
输入: [7,6,4,3,1] 输出: 0 解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
对于交易次数做了限定
这里需要对k做遍历处理
这里我放出了简化过的代码版本，列出四个情况，不需要显式的做k的循环了。
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int dpi_1_0 = 0,dpi_1_1 = INT_MIN;
int dpi_2_0 = 0,dpi_2_1 = INT_MIN;
int size = prices.size();
for(int i=0;i<size;i++){
dpi_2_0 = max(dpi_2_0,dpi_2_1 + prices[i]);
dpi_2_1 = max(dpi_2_1,dpi_1_0 - prices[i]);
dpi_1_0 = max(dpi_1_0,dpi_1_1 + prices[i]);
dpi_1_1 = max(dpi_1_1,-prices[i]);
}
return dpi_2_0;
}
};
第六题 188. 买卖股票的最佳时机 IV
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: [2,4,1], k = 2 输出: 2 解释: 在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2:
输入: [3,2,6,5,0,3], k = 2 输出: 7 解释: 在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。 随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
这道题会爆内存
本题不对交易次数做限定，直接对于dp数组规模定义为n * k * 2很容易爆内存，因为不确定k的值究竟会设置为多大。
这里可以观察到， 当k的值大小等于等于n/2时，这道题就变为了交易次数不受限制的第二题了， 因此，可以多做一步判断避免k值过大的问题。
class Solution {
public:
int maxProfitInf(vector<int>& prices){
int dpi_0 = 0,dpi_1 = INT_MIN;
int size = prices.size();
for(int i=0;i<size;i++){
int temp = dpi_0;
dpi_0 = max(dpi_0,dpi_1 + prices[i]);
dpi_1 = max(dpi_1,temp - prices[i]);
}
return dpi_0;
}
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
int size = prices.size();
if(k >= size / 2)
return maxProfitInf(prices);
int dp[size][k+1][2];
for(int i=0;i<size;i++)
for(int j=0;j<k+1;j++)
for(int m=0;m<2;m++)
dp[i][j][m] = 0;
for(int i=0;i<size;i++){
for(int j = k;j>=1;j--){
if(i - 1 == -1){
//处理base case
//dp[-1][j][0] = 0;dp[-1][j][1] = INT_MIN
dp[i][j][0] = 0;//dp[i][j][0] = max(0,INT_MIN + prices[i])
dp[i][j][1] = -prices[i];//dp[i][j][1] = max(INT_MIN,-pricces)
continue;
}
dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0],dp[i-1][j][1] + prices[i]);
dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j-1][0] - prices[i]);
}
}
return dp[size - 1][k][0];
}
};
