算法引入的相关知识，内容包括数学：解决问题的终极工具、问题解决的“计算”之道、图灵机计算模型、计算复杂性、计算方法、抽象和实现、算法的表达、为什么要研究和学习算法。
一、数学：解决问题的终极工具
人们在生活、生产、学习、探索、创造过程中会遇到各种未知的事物
- 有些问题已经解决
- 很多问题尚未解决
- 有些问题似乎无法解决
尚未解决和无法解决问题的共性：表述含混、标准不一、涉及主观、结果不确定
数学：解决问题的终极工具
在长期的发展过程中，人么把已经解决的问题逐渐表述为数学命题与模型
- 尚未解决的问题：人们试图通过数学建模，采用数学工具来解决
- 无法解决的问题，人们视图转换表述、明晰问题来部分解决
为什么是数学？
- 数学具有清晰明确的符号表述体系
- 严密确定的推理系统
但正如科学不是万能的，数学也不是万能的。有些问题天然无法明确表述（主观、价值观、意识形态、哲学问题等）有些可明确表述的问题仍然无法解决
二、问题解决的“计算”之道
20世纪20年代，为了解决数学本身的可检验性问题，大数学家希尔伯特提出“能否找到一种基于有穷观点的能行方法，来判定任何一个数学命题的真假”
1. 抽象的“计算”概念提出
基于有穷观点的能行方法：
由有限数量的明确有限指令构成；
指令执行在有限步骤后终止；
指令每次执行都总能得到唯一结果；
原则上可以由人单独采用纸笔完成，而不依靠其它辅助；
每条指令可以机械地被精确执行，而不需要智慧和灵感。
2. 关于“计算”的数学模型
20世纪30年代，几位逻辑学家各自独立提出了几个关于“计算”的数学模型
哥德尔和克莱尼的递归函数模型
丘奇的Lambda演算模型
波斯特的Post机模型
图灵的图灵机模型
3. 关于“计算”的数学模型
研究证明，这几个“基于有穷观点的能行方法”的计算模型，全都是等价的
虽然希尔伯特的计划最终被证明无法实现
不存在“能行方法”可判定所有数学命题的真假
总有数学命题，其真假是无法证明的
但“能行可计算”概念成为计算理论的基础
其中的一些数学模型（如图灵机）也成为现代计算机的理论基础
三、图灵机计算模型
1936年，Alan Turing提出的一种抽象计算模型，基本思想是用机器模拟人们用纸笔进行数学运算的过程，但比数值计算更为简单
1. 图灵机的基本概念
- 在纸上写上或擦除某个符号；
- 把注意力从纸的一个位置转向另一个位置
- 在每个阶段，要决定下一步动作依赖于：(a) 此人当前所关注的纸上某个位置的符号和 (b) 此人当前思维的状态。
2. 图灵机的基本定义
一条无限长的分格纸带，每格可以记录1个符号。一个读写头，可在纸带上左右移动，能读出和擦写格子的字符。一个状态寄存器，记录有限状态中的1个状态
// 一系列有限的控制规则：
• 某个状态，读入某个字符时：
• 要改写成什么字符
• 要如何移动读写头
• 要改变为什么状态
3. 举例子
判定{ambm|m>=0}：左半部全是a，右半部全是b，且ab数量相等的字符串
规则思路：读写头来回移，将a和b一一对消，如果最后剩下空白B则接受，否则拒绝
初始状态s0是读写头停在第一个字符处
s1状态是读写头正在右移
s2状态是读写头到字符串最右边
s3状态是读写头正在向回左移
判定ambm模式串图灵机的规则
<s0, a, B, s1, R>：初始碰到a消去，s1，右移
<s1, a, a, s1, R>：消去1个a的状态，继续右移，找最后一个b
<s1, b, b, s1, R>：遇到b，继续右移
<s1, B, B, s2, L>：右移到尾，状态s2，回移
<s2, b, B, s3, L>：如果有b，消去，进入左移状态s3
<s3, b, b, s3, L>：左移遇到b，继续左移
<s3, a, a, s3, L>：左移遇到a，继续左移
<s3, B, B, s0, R>：左移到头回初始状态s0，右移检查下个字符
<s0, B, B, sY, N>：a,b都能一一消完，则进入“接受”状态，停机
<s0, b, b, sN, R>：b多了，或者b在a前，进入“拒绝”状态，停机
<s2, a, a, sN, R>：s2是末尾状态，如果碰到a，表示a多了，或者a在b后，进入“拒绝”状态，停机
<s2, B, B, sN, R>： s2是末尾状态，如果没碰到b，表示a多了，进入“拒绝”状态，停机
四、计算复杂性
1. 问题的分类
- What：是什么？ 面向判断与分类的问题
- Why：为什么？ 面向求因与证明的问题
- How：怎么做？ 面向过程与构建的问题
2. 可以通过“计算”解决的问题
用任何一个“有限能行方法”下的计算模型可以解决的问题，都算是“可计算”的
What 分类问题： 可以通过树枝的判定分支解决
Why 证明问题： 可以通过有限的公式序列来解决
How 过程问题： 可以通过算法流程来解决解决问题的过程
3. 计算复杂性
计算复杂性理论研究问题的本质，将各种问题按照其难易程度分类，研究各类问题的难度级别，并不关心解决问题的具体方案
而算法则研究问题在不同现实资源约束情况下的不同解决方案，致力于找到效率最高的方案
4. 不可计算问题
有不少定义清晰，但无法解决的问题。 并不是尚未找到解，而是在“基于有穷观点的能行方法”的条件下，已被证明并不存在解决方案
停机问题： 判定任何一个程序在任何一个输入情况下是否能够停机
不可计算数： 几乎所有的无理数，都无法通过算法来确定其任意一位是什么数字。可计算数很少：如圆周率Pi，自然对数的底e
五、计算方法
1. 超大规模分布式计算
SETI@home是一项利用全球联网计算机共同搜寻地外文明（SETI）的科学实验计划。项目组把射电望远镜采集到的海量信息分成一个个小数据包，发送到互联网上每台安装了SETI@home软件的电脑都可以自动下载这些数据，以运行屏幕保护或者后台程序的方式参与数据分析。从1999年5月开始，目前，有170万人、450万台计算机正在参加搜寻
2. 新型计算技术：光子计算
用超微透镜取代晶体管、以光信号代替电信号进行运算
光芯片无需改变二进制计算机的软件原理，但可以轻易实现极高的运算频率，同时能耗非常低，不需要复杂的散热装置
3. 新型计算技术：DNA计算
以DNA分子和酶的相互作用实现逻辑运 算和数据存储，获得极高的计算并行度和 存储能力。
4. 新型计算技术：量子计算
利用量子力学态叠加原理，让信息单元处 于多种可能性的叠加状态，从而实现指数 级别的并行计算，根本上解决最高复杂度 计算问题。
5. 分布式智慧——众包
Foldit：游戏化众包蛋白质结构分析
多人在线游戏，众多玩家在给定一个目标蛋白的情况下，用各种氨基酸进行组装，最终拼凑出这个蛋白的完全体
玩家只需要掌握基本方块的拼插技巧，即可跟全世界众多玩家一起协同工作，攻克科研难题，有60万人玩过这个游戏
六、抽象和实现
1. 抽象的概念
计算机科学主要研究的是问题、问题解决过程，以及问题的解决方案，包括了前述的计算复杂性理论以及对算法的研究
为了更好地处理机器相关性或独立性，引入了“抽象”的概念，用以从“逻辑 Logical ”或者“物理 Physical ”的不同层次上看待问题及解决方案
2. 抽象的例子
汽车
司机看到汽车的“逻辑” 层次，这些操纵机构（方向盘、油门、档位）就称为“ 接口 Interface”
从汽车修理工的角度来看同一辆汽车，这些内部构造构成了汽车的“物理” 层次，工作过程就称为“实现 Implementation”
计算机
从一般大众用户观点看来，计算机可以用来编辑文档、收发邮件、上网聊天、处理照片等等，并不需要具备计算机内部如何处理的知识，利用这些功能是计算机的“逻辑”层次
而对于计算机科学家、程序员、技术支持、系统管理员来说，就必须要了解从硬件结构、操作系统原理到网络协议等各方面的低层次细节，内部如何实现，是计算机的“物理”层次
“抽象”发生在各个不同层次上
即使对于程序员来说，使用编程语言进行编程，也会涉及到“抽象”，如计算一个数的平方根，程序员可以调用库函数math.sqrt，直接得到结果，而无需关心其内部是如何实现，这种功能上的“黑盒子”称作“过程抽象 Procedural Abstraction”
3. 抽象与实现：编程
编程是通过一种程序设计语言，将抽象的算法实现为计算机可以执行的代码的过程，没有算法，编程无从谈起（这句话可以推出——“算法是抽象的”）
图灵奖获得者Niklaus Wirth的著名公式：算法+数据结构=程序。此公式相当于物理中的E=mc^2，Pascal语言设计者
4. 实现算法的基本机制
程序设计语言需要为算法的实现提供实现“过程”和“数据”的机制，具体表现为“控制结构”和“数据类型”
程序设计语言均有语句对应控制结构，顺序处理、分支选择、循环迭代
程序设计语言也提供最基本的数据类型来表示数据，如整数、字符等，但对于复杂的问题而言，直接使用这些基本数据类型不利于算法的表达
七、算法的表达
为了控制问题和问题解决过程的复杂度，利用抽象来保持问题的“整体感”而不会陷入到过多的细节中去，这要求对现实问题进行建模的时候，对算法所要处理的数据，也要保持与问题本身的一致性，不要有太多与问题无关的细节
1. 数据抽象：ADT抽象数据类型
过程抽象”启发我们进行“数据抽象”
相对于程序设计语言中基本数据类型，抽象数据类型（ADT:Abstract Data Type）。ADT是对数据进行处理的一种逻辑描述，并不涉及如何实现这些处理
抽象数据类型ADT建立了一种对数据的 “封装 Encapsulation”，封装技术将可能的处理实现细节隐蔽起来能有效控制算法的复杂度
2. 数据结构是对ADT的具体实现
同一ADT可以采用不同的数据结构来实现，采用程序设计语言的控制结构和基本数据类型来实现ADT所提供的逻辑接口——属于ADT的“物理”层次
3. ADT实现：数据结构Data Structure
对数据实现“逻辑”层次和“物理”层次的分离，可以定义复杂的数据模型来解决问题，而不需要立即考虑此模型如何实现
八、为什么要研究和学习算法
在某些情况下，当我们碰到棘手的难题，得能区分这种问题是根本不存在算法，还是能找到算法，但需要耗费大量的资源
某些问题解决需要一些折衷的处理方式，我们需要学会在不同算法之间进行选择，以适合当前条件的要求
「资料来源：©数据结构与算法Python版-中国大学MOOC」
