凸集定义的直观理解则称为凸集。如图1：所以公式(3)可以表示为绿色实线向量，其终点在和的联结线段上；但当时，其终点在联

一、凸集的定义^[1]

定义：设 $S$ 为 $n$ 维欧式空间 $\mathbb{R}^n$ 中的一个集合，若对 $S$ 中任意两点，联结他们的线段仍属于 $S$ ；换言之，对 $S$ 中任意两点 $x^{(1)}$ , $x^{(2)}$ ,及每个实数 $\lambda$ $\in$ [0,1],都有

则称 $S$ 为凸集。如图1：

为什么公式(1)的前半部分

能表示两个点的联线？把公式(2)展开并合并含有 $\lambda$ 项得到

几何图形具有直观理解的好处，我们在几何图形中表示公式(3)，并进行理解，请看图2：

其中，把 $x^{(1)}$ 和 $x^{(2)}$ 表示为向量形式（图中为蓝色实线），根据向量知识，其中长黄色实线向量表示

短黄色实线向量表示当 $\lambda \in [0,1]$ 时

所以公式(3)可以表示为绿色实线向量，其终点在 $x^{(1)}$ 和 $x^{(2)}$ 的联结线段上；但当 $\lambda \notin [0,1]$ 时，其终点在联结直线上，但在线段外，两个红色点分别表示当 $\lambda > 1$ 和 $\lambda < 0$ 时，其终点的位置。