红黑树查询的时间复杂度

前言

关于红黑树的高度证明，看了下维基百科里面关于渐近边界的证明有点懵逼。觉得证明的过程有点曲折，不知道是翻译的缘故，还是本来就难以理解。

所以我尝试使用简单的，通俗并且易于理解的方式一步一步的推导。

正文

包含n个内部节点的红黑树的高度是$O(log(n))$。

定义：

• $h(v)$表示以节点$v$为根的子树的高度。
• $bh(v)$表示从到$v$子树中任何叶子的黑色节点的数目（如果$v$是黑色则不计数它，也叫做黑色高度）。

引理：以节点$v$为根的子树有至少$2^{bh(v)} - 1$个内部节点。

定义和引理沿用的是wiki中的，下面会开始证明。

在$h(v) = 0$的时候，表示树的高度为0，此时$bh(v) = 0$，所以：

$2^{bh(v)} - 1 = 2 ^ 0 - 1 = 0$

然后就需要使用归纳演绎了，假设以节点$v$为根的子树有至少$2^{bh(v)} - 1$内部节点，此时$h(v) = k$。

那么在$h(v' ) = k + 1$的时候，$bh(v' ) - 1 = bh(v)$或者$bh(v' ) = bh(v)$，因为树的高度加一，那么黑高可能不变或者加一。

对于$h(v' )$树种的节点数就满足$n >= 2^{bh(v)} - 1 + 2^{bh(v)} - 1 + 1 = 2 ^ {bh(v) + 1} - 1$。把$bh(v )$用$bh(v' )$替换，结果就是$n >= 2 ^ {bh(v' ) + 1} - 1$或者$n >= 2 ^ {bh(v' )} - 1$。n的下限取最小值的话就是 $2 ^ {bh(v' )} - 1$，然后就由k成立推导了k+1也成立，引理得证。

证明

由于红黑树的性质可以得知，红色节点必有两个黑色的子节点。也就是说存在红色节点的情况下，必存在对应的黑色子节点，而存在黑色节点的时候，没有和红色节点的必然关系。那么红黑树中的$bh(root) >= \frac{h(root)} {2}$，再和证明了的引理结合就可以完成下面一步一步的推导了

$n >= 2^{\frac{h(root)} {2}} - 1$ -> $log(n+1) >= \frac{h(root)}{2}$ -> $h(root) <= 2log(n+1)$

最后就可以确定后红黑树中查询的时间复杂度为$log(n)$